Distribuzione esatta S.M.V. e la funzione dello S.M.V.
Ciao...
Riferendomi a questo topic :
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 67268.html
più precisamente al punto (e) "Si ricavi la distribuzione esatta dello stimatore di massima verosimiglianza. " Non riesco a capire delle cose.
Mi spiego:
Pongo $X=sqrt(Y)$
e trovo la sua densità facendo l'integrale cioè faccio l'integrale per sostituzione ponendo $x=sqrt(y)$ e $y=x^2$ $dy=2x dx$ quindi $int_0^{x^2}\theta/(2x)*e^(-\thetax) * 2x dx$ semplificando il $2x$ mi resta la funzione di densità della $X$ cioè $theta*e^(-\thetax)$ che quindi è la densità di una variabile casuale esponenziale. E' giusto come ragiono?
Poi sò che la somma di esponenziali è una Gamma $Ga(n,\theta)$ $\sim$ $\sum_{i=1}^n Z = sum_{i=1}^n sqrt(Y) $
Ora non capisco quasi più nulla:
Lo stimatore di m.v. è $\hat \theta = (sum_{i=1}^n sqrt(Y))/n$ ora non capisco cosa devo fare ....
Riferendomi a questo topic :
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 67268.html
più precisamente al punto (e) "Si ricavi la distribuzione esatta dello stimatore di massima verosimiglianza. " Non riesco a capire delle cose.
Mi spiego:
Pongo $X=sqrt(Y)$
e trovo la sua densità facendo l'integrale cioè faccio l'integrale per sostituzione ponendo $x=sqrt(y)$ e $y=x^2$ $dy=2x dx$ quindi $int_0^{x^2}\theta/(2x)*e^(-\thetax) * 2x dx$ semplificando il $2x$ mi resta la funzione di densità della $X$ cioè $theta*e^(-\thetax)$ che quindi è la densità di una variabile casuale esponenziale. E' giusto come ragiono?
Poi sò che la somma di esponenziali è una Gamma $Ga(n,\theta)$ $\sim$ $\sum_{i=1}^n Z = sum_{i=1}^n sqrt(Y) $
Ora non capisco quasi più nulla:
Lo stimatore di m.v. è $\hat \theta = (sum_{i=1}^n sqrt(Y))/n$ ora non capisco cosa devo fare ....
Risposte
Corretto.
Ora hai una Gamma moltiplicata per $1/n$, non ti viene in mente niente?
Ora hai una Gamma moltiplicata per $1/n$, non ti viene in mente niente?
Il brutto che ho fatto trecento calcoli e ragionamenti che ora non ci trovo più una soluzione. Come risultato mi trovo una distribuzione gamma con il parametro moltiplicato per n e le $y = x/n$ ma sinceramente vorrei vedere i passaggi pechè non riesco a capire.
A che passaggi ti riferisci? A tutti quelli che ti portano alla conclusione? Perché dato che li hai postati pensavo ti fossi bloccata solo all'ultimo xD
Che comunque la conclusione è giusta, $\hat{theta}\simGa(n,ntheta)$
Che comunque la conclusione è giusta, $\hat{theta}\simGa(n,ntheta)$
Ma infatti non capisco !!! 
Mi blocco al discorso ho una Gamma moltiplicata per $1/n$ poi cosa devo fare?
Mi blocco al discorso ho una Gamma moltiplicata per $1/n$ poi cosa devo fare?
In generale vale la regola:
Data $X\simGa(n,theta) => aX\simGa(n,theta/a)$, con $ainRR$
Cioè, a parole, una Gamma moltiplicata per una costante è ancora una Gamma con parametro di scala che rimane uguale ed il parametro di forma moltiplicato per il reciproco della costante.
Quindi qua hai che $1/n\hat{theta}\simGa(n,theta*n)$, ed è finito
Data $X\simGa(n,theta) => aX\simGa(n,theta/a)$, con $ainRR$
Cioè, a parole, una Gamma moltiplicata per una costante è ancora una Gamma con parametro di scala che rimane uguale ed il parametro di forma moltiplicato per il reciproco della costante.
Quindi qua hai che $1/n\hat{theta}\simGa(n,theta*n)$, ed è finito
Grazie mille ho capito!!!!!!!!!!!!!!
Ma lo stimatore che devi considerare è quello che hai scritto o il suo inverso?
Lo stimatore che devo considerare è quello che ho scritto all'inizio...
Cmq non riesco a capire il punto f dell'esercizio del link che ho messo all'inizio della discussione.
Cioè: si individui una funzione di $hat theta$ e $theta$ avente distribuzione nota e indipendente da $theta$.
Sò che una distribuzione gamma con $alpha=1/2$ e $theta=1/2$ è una distribuzione chi-quadro... Quindi dopo come procedo?
Cioè: si individui una funzione di $hat theta$ e $theta$ avente distribuzione nota e indipendente da $theta$.
Sò che una distribuzione gamma con $alpha=1/2$ e $theta=1/2$ è una distribuzione chi-quadro... Quindi dopo come procedo?
Ma non capisco bene perchè gli estimatori nei due sono diversi.
Per quanto riguarda la domanda f non saprei bene cosa vuol dire perchè se fai
$f()=1 $ rispetterebbe tutto quello che chiede ma penso voglia una cosa del tipo $\hat{theta} * theta$ o qualcosa del genere controlla se torna tutto.
Per quanto riguarda la domanda f non saprei bene cosa vuol dire perchè se fai
$f()=1 $ rispetterebbe tutto quello che chiede ma penso voglia una cosa del tipo $\hat{theta} * theta$ o qualcosa del genere controlla se torna tutto.
Lo stimatore di massimima verosimiglianza è sempre lo stesso solo che dopo lo trasformi secondo la regola della Gamma che spiegava Arado90
Se $\hat{theta}\simGa(n,ntheta) => ntheta*\hat{theta}\simGa(n,1) => 2ntheta*\hat{theta}\simGa(n,1/2)\simchi^2_{2n}$
Quindi la soluzione dovrebbe essere $2ntheta*\hat{theta}$, con distribuzione $chi^2_{2n}
Quindi la soluzione dovrebbe essere $2ntheta*\hat{theta}$, con distribuzione $chi^2_{2n}
La soluzione è $(2ntheta)/ hat theta sim chi^2_n$ è la stessa cosa?
Vedi che allora lo stimatore è l'inverso (o meglio potrebbe essere). Ti conviene ri comnciare da capo l'esercizio riguardando alcuni passaggi perchè qua e la in questo thr ci sono degli errori.
In effetti avevi ragione è stata fatta un po' di confusione a me interessa questa stimatore:
$hat theta = n / (sum sqrt(y_i) $
e quindi $T = sqrt(Y_i)$ ha distribuzione esponenziale e di conseguenza $sum T -> Gamma(n,theta)$
Adesso avendo l'inversa della Gamma per n la mia distribuzione è $Gamma (n,1/(thetan))$ o $Gamma (n,theta/n)$ ?Aiutatemi vi prego sono in confusione totale!!!!
$hat theta = n / (sum sqrt(y_i) $
e quindi $T = sqrt(Y_i)$ ha distribuzione esponenziale e di conseguenza $sum T -> Gamma(n,theta)$
Adesso avendo l'inversa della Gamma per n la mia distribuzione è $Gamma (n,1/(thetan))$ o $Gamma (n,theta/n)$ ?Aiutatemi vi prego sono in confusione totale!!!!
No. Sei arrivato allo stimatore $hat(theta)$.
Quello si distribuisce come $n/(Gamma)$ quindi $1/(hat(theta)) \ sim \ 1/n Gamma$
Quindi $(2ntheta)/ hat theta sim chi^2_n$ chè poi un caso particolare della Gamma.
Quello si distribuisce come $n/(Gamma)$ quindi $1/(hat(theta)) \ sim \ 1/n Gamma$
Quindi $(2ntheta)/ hat theta sim chi^2_n$ chè poi un caso particolare della Gamma.
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