Distribuzione e funzione di probabilita'
Ciao a tutti, non riesco a capire la differenza tra distribuzione e funzione di probabilita'.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo!
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo!
Risposte
Distinguiamo anzitutto 2 casi: discreto e continuo.
1)Caso discreto: una variabile aleatoria $X$ è detta discreta se assume valori in un insieme contabile (o numerabile, come dir si voglia). Per esempio: $X$ assume valori $0$ o $1$; $X$ assume valori nell'insieme dei numeri naturali; $X$ è degenere (cioè assume solo un determinato valore $k$, o in altre parole $P(X\nek)=0$).
Per una variabile aleatoria discreta, la funzione di massa di probabilità, o più semplicemente funzione di probabilità, o funzione di densità rispetto alla misura di conteggio (quest'ultima espressione ha un senso se hai fatto qualcosa di teoria della misura; in caso contrario non considerarla) è definita come $P(X=x)$, dove $x$ è un numero reale (chiaramente, se una variabile casuale assume solo valori interi e $x$ è un valore non intero, allora $P(X=x)=0$). La relativa funzione di distribuzione (o funzione cumulativa) è definita come $P(X<=x)$, per $x$ numero reale. Per esempio, considera la seguente matrice, che nella prima riga presenta i valori assunti da una variabile casuale e nella seconda le relative probabilità:
$((1.2,1.8,3),(0.2,0.4,0.4))$. Allora la funzione di massa probabilità è espressa nella seconda riga, per i corrispondenti valori riportati nella prima. La funzione di distribuzione per $x=1.5$ è 0.2, per $x=1.8$ è 0.6, per $x=2.5$ è 0.6, per $x>=3$ è 1.
2)Caso continuo: una variabile aleatoria $X$ è detta continua se assume valori in un insieme non numerabile. Per esempio in un intervallo $(a,b)$, $(0,infty)$, $R$. La funzione di massa di probabilità è ora sostituita dalla funzione di densità di probabilità (o funzione di densità rispetto alla misura di Lebesgue, sempre se hai fatto qualcosa di teoria della misura), la cui definizione e proprietà puoi trovarle su un qualsiasi libro di statistica..
1)Caso discreto: una variabile aleatoria $X$ è detta discreta se assume valori in un insieme contabile (o numerabile, come dir si voglia). Per esempio: $X$ assume valori $0$ o $1$; $X$ assume valori nell'insieme dei numeri naturali; $X$ è degenere (cioè assume solo un determinato valore $k$, o in altre parole $P(X\nek)=0$).
Per una variabile aleatoria discreta, la funzione di massa di probabilità, o più semplicemente funzione di probabilità, o funzione di densità rispetto alla misura di conteggio (quest'ultima espressione ha un senso se hai fatto qualcosa di teoria della misura; in caso contrario non considerarla) è definita come $P(X=x)$, dove $x$ è un numero reale (chiaramente, se una variabile casuale assume solo valori interi e $x$ è un valore non intero, allora $P(X=x)=0$). La relativa funzione di distribuzione (o funzione cumulativa) è definita come $P(X<=x)$, per $x$ numero reale. Per esempio, considera la seguente matrice, che nella prima riga presenta i valori assunti da una variabile casuale e nella seconda le relative probabilità:
$((1.2,1.8,3),(0.2,0.4,0.4))$. Allora la funzione di massa probabilità è espressa nella seconda riga, per i corrispondenti valori riportati nella prima. La funzione di distribuzione per $x=1.5$ è 0.2, per $x=1.8$ è 0.6, per $x=2.5$ è 0.6, per $x>=3$ è 1.
2)Caso continuo: una variabile aleatoria $X$ è detta continua se assume valori in un insieme non numerabile. Per esempio in un intervallo $(a,b)$, $(0,infty)$, $R$. La funzione di massa di probabilità è ora sostituita dalla funzione di densità di probabilità (o funzione di densità rispetto alla misura di Lebesgue, sempre se hai fatto qualcosa di teoria della misura), la cui definizione e proprietà puoi trovarle su un qualsiasi libro di statistica..
"frapippo":
2)Caso continuo: una variabile aleatoria $X$ è detta continua se assume valori in un insieme non numerabile. Per esempio in un intervallo $(a,b)$, $(0,infty)$, $R$. La funzione di massa di probabilità è ora sostituita dalla funzione di densità di probabilità (o funzione di densità rispetto alla misura di Lebesgue, sempre se hai fatto qualcosa di teoria della misura), la cui definizione e proprietà puoi trovarle su un qualsiasi libro di statistica..
@frapippo: qua se uno vuole può essere più preciso. Questa classe di sistribuzioni viene chiamata assolutamente continua proprio perchè la misura di probabilità della variaile aleatoria è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, e la densità è la derivata di Radon-Nikodym tra le due misure.
Esistono poi distribuzioni intermedie come ad esempio la distribuzione di Cantor che non sono ne assoutamente continue ne discrete. Se ti interessa vai a vedere il teorema di decomposizione della misura di Lebesgue.
Hai pienamente ragione, non sono sceso nei particolari per rendere solo l'idea ( e anche perché teoria della misura è ormai un lontano ricordo..). Comunque, anche nel caso discreto la funzione di massa di prob. è la derivata di Radon-Nikodym (densità) della misura di prob. della v.a.rispetto alla misura di conteggio, cioè la misura di prob. della variabile aleatoria è assolutamente continua rispetto alla misura di conteggio..tutto questo però non viene citato in un corso base di statistica, quindi è meglio distinguere il caso discreto e continuo sulla base delle immagini che variabile aleatoria può assumere. Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo