Distribuzione discreta congiunta

[Boxyes]

Ho un arciere che colpisce un bersaglio il 20% delle volte, ogni volta che lo centra si lanciano 2 monetine se escono due teste, l'arciere vince un ambito premio e il gioco finisce.
Se $X$ è la variabile aleatoria che mi indica il numero totale di frecce scoccate prima del primo centro (compresa quella andata a segno), e $Y$ è il numero totale di frecce scoccate prima della prima vittoria (compresa quella vincente), calcolare: le singole distribuzioni e le distribuzioni congiunte.

Allora la distribuzione di $X$ che chiamo $P_X$ è in pratica la distribuzione geometrica con la probabilità $1/5$

$P_X=P*(1-P)^(X-1)=1/4 * (4/5)^X$

E la distribuzione $P_Y$ è geometrica con la probabilità $1/20$ poichè questa è la probabilità di fare centro e avere due teste nel lancio della moneta.

$P_Y=1/19 * (19/20)^Y$

allora adesso per la distribuzione congiunta so che essa vale

$P(i,j)=P(X=i, Y=j)$

in pratica ogni elemento della distribuzione mi dice quanto è la probabilità di vincere al gioco al j-esimo lancio avendo però fatto anche il primo centro all'i-esimo?
Io so che le prove sono tutte indipendenti e quindi direi che:

$P(i,j)=\{(P_X (i)*P_Y (j), se, 1
Dunque se dovessi calcolare che so:

$P(3,10)=(1/4*(4/5)^3)*(1/19*(19/20)^10)$

Io ho qualche dubbio su questa formalizzazione poichè nella teoria la ho capita la distribuzione congiunta (almeno sui discreti), ma nella pratica temo di fare qualche sbaglio...

Sempre nello stesso esercizio mi viene chiesto se giocherei al gioco sapendo che si vincono 25 euro e che ogni lancio costa 2.

Mi sono calcolato l'equità del gioco, chiamo $K$ v.a. che mi indica il guadagno, e cerco $E(K)$ valore atteso:

$E(K)=25*P_Y(j)-2*j(19/20)^j$

cioè 25 per la probabilità di fare un centro al j-esimo lancio meno 2 volte per j la probabilità di nessun centro in j lanci.
Questa è una funzione di j, io ho ragionato così, se entro 12 lanci la mia funzione assume valore nullo o positivo allora gioco.

$f(j)=(25/19 -2*j)*(19/20)^j$

$f'(j)=(-2+500j-40/19*j^2)*(19/20)^j$

allora cerco i punti critici

$f'(j)=0 \hArr j~=237$

mi interessano solo i $j$ positivi
Ma per $J=1$ è negativa e in $J=0$ è positiva il che implica (per la continuità della funzione) che per $x~=237$ ho un minimo negativo, dunque sicuramente tra $1$ e $12$ la funzione decresce; ed allora io non giocherei al gioco; regge il ragionamento?

[Quinzio]

"Boxyes":
in pratica ogni elemento della distribuzione mi dice quanto è la probabilità di vincere al gioco al j-esimo lancio avendo però fatto anche il primo centro all'i-esimo?
Io so che le prove sono tutte indipendenti e quindi direi che:

Ok, tutte le prove danno probabilità 1/20 di vincere, però Y non è indipendente da X.
Se ad esempio X=100 (il primo centro è successo al centesimo colpo, un arciere sfortunato), di sicuro Y>=100, cioè ovviamente la prima vincita è condizionata almeno ad un centro.
Inoltre grazie alla mancanza di memoria del processo bernoulliano, e siccome so che, sempre con l'esempio di prima, prima del 100° colpo non ci sono state vincite, al 101° le probabilità saranno comunque basse, perchè non sono più "in attesa" dal primo colpo, ma l'attesa parte da X, ovvero dal 100°.
Mi spiego: diciamo che voglio scommettere dei soldi sul centro dell'arciere. Se qualcuno mi da un premio se l'arciere fa centro nei primi 1000 tiri, ovviamente io gioco e so di vincere quasi sicuramente, le probabilità che l'arciere faccia centro nei primi 1000 tiri è altissima. Se però qualcuno sa che la partita è truccata, e l'arciere sbaglia apposta i primi 999 tiri (X=999), beh, allora non scommetto più.

Quindi io direi:
$P_Y={(0, ji ):}$

Il fatto che sia 1/4 se i=j è perchè so che X è un centro, quindi la prob di vincere dipende solo dalla monetina.

Ma per $J=1$ è negativa e in $J=0$ è positiva il che implica (per la continuità della funzione) che per $x~=237$ ho un minimo negativo, dunque sicuramente tra $1$ e $12$ la funzione decresce; ed allora io non giocherei al gioco; regge il ragionamento?

Il mio ragionamento è molto semplice: ha un valore atteso di 20, quindi voglio che il premio sia almeno 20 volte la giocata, quindi 20*2= 40. Il premio è 25, quindi non gioco.

[Boxyes]

Non ho capito una cosa:
quella che qui indichi con $P_Y$ è la distribuzione marginale per $Y$, e allora la ditr. congiunta? Perché mi sembra lei... dico questo perché se non avessi definito $X$ sono moderatamente sicuro che la $P_Y$ sarebbe coma la ho scritta io. Detto questo vediamo se interpreto bene la formula nel caso $j>i$
$1/20$ prob di vincere
$19/20$ probabilità di perdere
$j-i-1$ sono il numero di lanci che mi aspetto possano andare a segno, ma che sicuramente non vincono
$3/4$ è la probabilità di perdere al lancio della monetina
è quest'ultima parte che non capsco, il fatto che abbia già messo $(19/20)^(j-i-1)$ non dovrebbe rendere inutile il $ 3/4$