Distribuzione di probabilità del minimo di due variabili aleatorie

[Pigreco2016]

Sono interessato a mostrare che la variabile aleatoria $Z$ del minimo tra due variabili aleatorie indipendenti e somiglianti $X_1$, $X_2$ di tipo geometrico segue ancora una distribuzione di tipo geometrico. Purtroppo non riesco a raggiungere tale risultato. La distribuzione di probabilità da me usata per $X_1$, $X_2$ è $ p(1-p)^r$ $r=0,1,2,...$
La funzione di ripartizione di entrambe le variabili è $F(r)= 1-(1-p)^(r+1)$
I calcoli da me svolti sono:
$P(Z=r)=P(z che chiaramente non è una distribuzione di tipo geometrico. Potreste darmi una mano a scovare l'errore?

[Lo_zio_Tom]

personalmente sono abituato a vedere la distribuzione geometrica così

$P(X=k)=p(1-p)^(k-1)$

$k=1,2,.....$

La funzione di ripartizione risulta dunque $F_(X)(k)=1-q^k$

per trovare la funzione del minimo prendiamo in considerazione la funzione di sopravvivienza

$S_(X)(k)=P(X>k)=1-F=q^k$

ora

$S_(min)(k)=P(min(x,y)>z)=P(x,y>z)=P(X>z)P(Y>z)=q^(2k)$


e quindi $F_(min)=1-(1-p)^(2k)$

ovvero una geometrica di parametro $1-q^2$

direi che è tutto qui...

[Pigreco2016]

A lezione non abbiamo fatto la funzione di sopravvivenza purtroppo

[Lo_zio_Tom]

"Pigreco2016":A lezione non abbiamo fatto la funzione di sopravvivenza purtroppo

non serve....era solo per velocizzare i calcoli


$F_(min)=P(min(x,y)<=z)=1-P(min(x,y)>z)=1-P(X>z)P(Y>z)=1-[P(X>z)]^2=1-[1-F_(X)(z)]^2=$

$=1-[1-(1-q^k)]^2=1-q^(2k)$


stesso risultato....

[Pigreco2016]

Penso di aver compreso comunque. Assurdo come seguendo il tuo ragionamento l'estensione a più variabili sia super immediata

[Pigreco2016]

Ma allora il mio ragionamento è totalmente sbagliato. Io stavo imitando il ragionamento che ho nel libro per quanto riguarda il massimo nel lancio di due dadi

[Lo_zio_Tom]

sinceramente non l'ho guardato....ma vedo che cercavi di trovare direttamente la pmf.

Come in tutte le trasformazioni, tranne casi molto particolari, è sempre meglio partire dal calcolo della CDF (quando devi calcolare la distribuzione del minimo sarebbe meglio partire dalla funzione di sopravvivenza, come hai potuto notare)

facciamo un altro esempio

calcolare la distribuzione del minimo fra due variabili esponenziali,

$f(x)=lambdae^(-lambdax)$


$f(y)=mue^(-muy)$

Sappiamo (o dovremmo sapere) che $F(x)=P(X<=x)=1-e^(-lambdax)$ e quindi anche $P(X>x)=e^(-lambdax)$


$P(min>z)=P(X,Y>z)=P(X>z)P(Y>z)=e^(-lambdaz)e^(-muz)=e^(-(lambda+mu)z)$

quindi

$F_(min)(z)=1-e^(-(lambda+mu)z)$

ovvero una esponenziale di parametro $(lambda+mu)$

fine

[Pigreco2016]

Se le due variabili fossero somiglianti e indipendenti allora il minimo ha ugualmente una distribuzione di tipo esponenziale. In questo caso le distribuzioni sono tipo continuo e abbiamo delle formulette già pronte per trovare funzione di ripartizione e densità. Il problema arriva quando si passa al caso discreto