Distribuzione di probabilità
siano $X_r$ con $r=1,2,3.....$ v.a indipendenti con distribuzione esponenziale di parametro $r$ e sia $N$ una v.a indipendente dalle $X_r$, geometrica di parametro $p$ trovare la distribuzione di probabilità di $ Y=X_N$
non capisco come fare.
le $X_r$ hanno densità $re^(-rx)$, la $N$ ha densità $p(1-p)^(k-1)$.
Per calcolare la distribuzione di probabilità devo fare
$P(X_N<=t)$
ma non riesco a capire come devo impostare il calcolo, mi sembra complicato
non capisco come fare.
le $X_r$ hanno densità $re^(-rx)$, la $N$ ha densità $p(1-p)^(k-1)$.
Per calcolare la distribuzione di probabilità devo fare
$P(X_N<=t)$
ma non riesco a capire come devo impostare il calcolo, mi sembra complicato
Risposte
Ti suggerisco di agire con una somma di densità condizionate. Ogni termine della somma andrà pesato per la relativa probabilità discreta, legata alla v.a. $N$.
scusami ma non ho capito, in che senso somma di densità condizionate? come la scrivo matematicamente?
Banalmente, come esprimi la densità di probabilità $f(X_n|n)$, in base a quello che dice il problema?
Fatto questo, devi sommare su tutti gli $n$ con gli opportuni pesi.
Fatto questo, devi sommare su tutti gli $n$ con gli opportuni pesi.
$P(X_r|r)+P(X_n|n)$ con $r=1,2,....,n-1$?
No, è banale, ha proprio un'espressione semplice. Prova a pensarci (se te lo dico io ti risolvo il problema): dato $n$, quant'è la densità di $X_n$?
$n e^(-nx)$ ???
"blabla":
$n e^(-nx)$ ???
Ok. Adesso puoi proseguire.
adesso devo fare cosi?
$P(X_n)=\sum_{n=1}^{+infty} P(N=n)P(X_n=n|N=n)$ ?
$P(X_n)=\sum_{n=1}^{+infty} P(N=n)P(X_n=n|N=n)$ ?
"blabla":
adesso devo fare cosi?
$P(X_n)=\sum_{n=1}^{+infty} P(N=n)P(X_n=n|N=n)$ ?
Ti conviene ragionare in termini di densità, perché le $X_n$ sono v.a. continue. Prova a valutare
\(\displaystyle f(X_N) = \sum_{n=1}^{+\infty} P[N = n]f(X_n|n) \)
dunque
$f(X_N)= p \sum_{n=1}^{+infty} (1-p)^(n-1)n e^(-nx)$
????????????
la densità è fuori dalla somma ? se è fuori faccio la serie geoemtrica e poi integro altrimenti non saprei
PS: il risultato finale deve essere $1-(pe^(-y))/(1-qe^-y)$
$f(X_N)= p \sum_{n=1}^{+infty} (1-p)^(n-1)n e^(-nx)$
????????????
la densità è fuori dalla somma ? se è fuori faccio la serie geoemtrica e poi integro altrimenti non saprei
PS: il risultato finale deve essere $1-(pe^(-y))/(1-qe^-y)$
"blabla":
la densità è fuori dalla somma ?
Tutto quello che dipende da $n$ non puoi tirarlo fuori dalla somma.
e allora non so come risoverla, ci penso stasera posto qualcosa
Non ho fatto i conti, ma forse ti può semplificare ragionare direttamente in termini della cumulativa:
$F(X_N) = \sum_{n=1}^{+ \infty} P[N = n]\cdot F(X_n|n)$
$F(X_n|n)$ la trovi banalmente integrando la pdf di $f(X_n|n)$.
$F(X_N) = \sum_{n=1}^{+ \infty} P[N = n]\cdot F(X_n|n)$
$F(X_n|n)$ la trovi banalmente integrando la pdf di $f(X_n|n)$.
la cumulativa di una distribuzione esponenziale è $1-e^-(nx)$, ma mettendola in quella sommatoria , non è che me la semplifichi...bò, non saprei come risolverla
Valutare la pdf è più difficile, ma si può comunque fare (utilizzando un operatore derivata che ti fa scendere una $n$ a moltiplicare).
Visto che hai difficoltà, passa per la cdf, che come ti ho detto semplifica i conti. Non te ne sei accorto, ma è una doppia serie geometrica:
\(\displaystyle p \sum_n \left(1-e^{-ny}\right)q^{n-1} = \frac{p}{q}\left[\sum_n q^{n} - \sum_n e^{-ny} q^n\right] =
\frac{p}{q}\left[\sum_n q^{n} - \sum_n \left(e^{-y} q\right)^n\right]=\ldots\)
Visto che hai difficoltà, passa per la cdf, che come ti ho detto semplifica i conti. Non te ne sei accorto, ma è una doppia serie geometrica:
\(\displaystyle p \sum_n \left(1-e^{-ny}\right)q^{n-1} = \frac{p}{q}\left[\sum_n q^{n} - \sum_n e^{-ny} q^n\right] =
\frac{p}{q}\left[\sum_n q^{n} - \sum_n \left(e^{-y} q\right)^n\right]=\ldots\)
quindi :
$p/q[1/(1-q)-1/(1-e^-yq)]=p/q[1/(p)-1/(1-e^-yq)]=p/q[(1-e^-yq-p)/(p(1-e^-yq)]=p/q[(q(1-e^-y))/(p(1-e^-yq)]=(1-e^-y)/(1-e^-yq)$...a me vien cosi
$p/q[1/(1-q)-1/(1-e^-yq)]=p/q[1/(p)-1/(1-e^-yq)]=p/q[(1-e^-yq-p)/(p(1-e^-yq)]=p/q[(q(1-e^-y))/(p(1-e^-yq)]=(1-e^-y)/(1-e^-yq)$...a me vien cosi
Quindi torna con il risultato del libro (giusto??)
il risultato che mi da il libro è $1-(pe^(-y))/(1-qe^-y)$
Si lo so, l'hai già detto prima. Fai due conti e troverai che i risultati coincidono.
si certo, ovviamente. ti ringrazio per la pazienza
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