Distribuzione di Poisson e l'attesa del tram.
[topic tra il serio ed il faceto]
...ho letto questa frase sfogliando le varie leggi di Murphy su wikiquote (http://it.wikiquote.org/wiki/Legge_di_Murphy)
In particolare leggo:
Legge di Poisson: Aspetterai sempre un tram per un tempo superiore alla media (Dimostrabile tramite Distribuzione di Poisson)
non sono un esperto, ma mi sembra strano. E' solo un'affermazione ironica? La parentesi lascia qualche dubbio...
...ho letto questa frase sfogliando le varie leggi di Murphy su wikiquote (http://it.wikiquote.org/wiki/Legge_di_Murphy)
In particolare leggo:
Legge di Poisson: Aspetterai sempre un tram per un tempo superiore alla media (Dimostrabile tramite Distribuzione di Poisson)
non sono un esperto, ma mi sembra strano. E' solo un'affermazione ironica? La parentesi lascia qualche dubbio...
Risposte
Azz, il link non funziona [Errore 404 Not Found].
Provo a cercare info usando come keywords il titolo del tuo articolo!
Provo a cercare info usando come keywords il titolo del tuo articolo!
Sicuro che non funziona ?
Non è che hai messo anche le "()" ?
Non è che hai messo anche le "()" ?
Hai ragione, ci sarà un problema su wiki.
Ti linko il contenuto:
Paradosso del tempo di attesa alla fermata del bus
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Si ipotizzi un processo di Poisson per gli arrivi degli autobus di una linea alla fermata di parametro λ.
Gli intervalli fra due arrivi successivi sono distribuiti secondo una legge esponenziale negativa di parametro λ: λ infatti rappresenta il numero di autobus che passano alla fermata nell'unità di tempo.
La media di una variabile esponenziale negativa è pari a 1/λ ed infatti la lunghezza media dell'intervallo temporale fra due autobus successivi è pari proprio a 1/λ.
Se un utente arriva in un istante casuale alla fermata dell'autobus ha davanti a se un tempo medio di attesa pari sempre a 1/λ in quanto la distribuzione esponenziale negativa è senza memoria. Inoltre con un semplice ragionamento basato sulla simmetria si può dimostrare che il valor medio del tempo passato fra il passaggio del bus precedente e l'istante di arrivo alla fermata è anche una variabile esponenziale negativa di parametro lambda.
Siano A e B i seguenti intervalli di tempo :
A)intervallo fra il passsaggio del bus precedente e l'arrivo alla fermata;
B)intervallo fra l'arrivo alla fermata ed il passaggio del bus successivo.
Se entrambi questi due intervalli di tempo A e B hanno un valor medio per la durata pari a 1/λ l'intervallo scelto arrivando a caso alla fermata dell'autobus deve avere come valor medio 2/λ e non 1/λ eppure gli intervalli erano stati proprio definiti come estratti da una variabile esponenziale negativa di parametro λ e aventi media quindi 1/λ.
Il paradosso è spiegabile nel momento in cui si chiarisce che la distibuzione degli intervalli fra autobus è esponenziale negativa mentre la distribuzione degli intervalli fra autobus, che trova un utente arrivato in un istante casuale alla fermata, è di tipo diverso.
Infatti l'utente arrivato a caso alla fermata avrà una probabilità maggiore di scegliere un intervallo più lungo.
Chiariamo con un semplice esempio.
[edit]
Esempio
Supponiamo che la distribuzione degli intervalli di tempo fra il passaggio di bus successivi sia una distribuzione discreta con solo due valori possibili: 5 minuti e 10 minuti entrambi equiprobabili. Supponiamo quindi di avere estratto 100 intervalli casuali e di averne 50 di lunghezza 5 minuti e 50 di lunghezza 10 minuti. Il tempo totale nel quale sarebbero passati i circa 100 autobus sarebbe 50*5+50*10= 750 minuti. Su di questi 750, 250 minuti sono costituitiu da intervalli di 5 minuti e 500 minuti sono costituiti da intervalli di 10 minuti. Un utente arrivato a caso in un istante compreso nei 750 minuti in questione avrebbe 1 probabilità su 3 di essere arrivato in un intervallo di 5 minuti e due probabilità su tre di essere arrivato in un intervallo lungo 10 minuti.
Gli intervalli più lunghi sono più probabili.
Come calcolare la probabilità di arrivare in un intervallo di lunghezza t in questo esempio?
Se assumiamo che la probabilità è proporzionale alla frequenza dell'intevallo e alla lunghezza dell'intervallo abbiamo :
P(t) = P(t) * t * c
Con c pari ad una costante.
Nel caso precedente per t = 5 minuti e t= 10 minuti si ha:
P(t=5) = P(t=5) * 5 * c = 1/2 * 5 * c
P(t=10) = P(t=10) * 10 * c = 1/2 * 10 * c
Inoltre si ha P(t=5) + P(t=10) = 1 (assioma della probabilità totale).
quindi da:
1/2 * 5 * c + 1/2 * 10 * c = 1
Si può ricavare la costante c e si ottiene c=2/15
da cui :
P(t=5) = 1/2 * 5 * c = 1/3 P(t=10) = 1/2 * 10 * c = 2/3
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Paradosso del tempo di attesa alla fermata del bus
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Si ipotizzi un processo di Poisson per gli arrivi degli autobus di una linea alla fermata di parametro λ.
Gli intervalli fra due arrivi successivi sono distribuiti secondo una legge esponenziale negativa di parametro λ: λ infatti rappresenta il numero di autobus che passano alla fermata nell'unità di tempo.
La media di una variabile esponenziale negativa è pari a 1/λ ed infatti la lunghezza media dell'intervallo temporale fra due autobus successivi è pari proprio a 1/λ.
Se un utente arriva in un istante casuale alla fermata dell'autobus ha davanti a se un tempo medio di attesa pari sempre a 1/λ in quanto la distribuzione esponenziale negativa è senza memoria. Inoltre con un semplice ragionamento basato sulla simmetria si può dimostrare che il valor medio del tempo passato fra il passaggio del bus precedente e l'istante di arrivo alla fermata è anche una variabile esponenziale negativa di parametro lambda.
Siano A e B i seguenti intervalli di tempo :
A)intervallo fra il passsaggio del bus precedente e l'arrivo alla fermata;
B)intervallo fra l'arrivo alla fermata ed il passaggio del bus successivo.
Se entrambi questi due intervalli di tempo A e B hanno un valor medio per la durata pari a 1/λ l'intervallo scelto arrivando a caso alla fermata dell'autobus deve avere come valor medio 2/λ e non 1/λ eppure gli intervalli erano stati proprio definiti come estratti da una variabile esponenziale negativa di parametro λ e aventi media quindi 1/λ.
Il paradosso è spiegabile nel momento in cui si chiarisce che la distibuzione degli intervalli fra autobus è esponenziale negativa mentre la distribuzione degli intervalli fra autobus, che trova un utente arrivato in un istante casuale alla fermata, è di tipo diverso.
Infatti l'utente arrivato a caso alla fermata avrà una probabilità maggiore di scegliere un intervallo più lungo.
Chiariamo con un semplice esempio.
[edit]
Esempio
Supponiamo che la distribuzione degli intervalli di tempo fra il passaggio di bus successivi sia una distribuzione discreta con solo due valori possibili: 5 minuti e 10 minuti entrambi equiprobabili. Supponiamo quindi di avere estratto 100 intervalli casuali e di averne 50 di lunghezza 5 minuti e 50 di lunghezza 10 minuti. Il tempo totale nel quale sarebbero passati i circa 100 autobus sarebbe 50*5+50*10= 750 minuti. Su di questi 750, 250 minuti sono costituitiu da intervalli di 5 minuti e 500 minuti sono costituiti da intervalli di 10 minuti. Un utente arrivato a caso in un istante compreso nei 750 minuti in questione avrebbe 1 probabilità su 3 di essere arrivato in un intervallo di 5 minuti e due probabilità su tre di essere arrivato in un intervallo lungo 10 minuti.
Gli intervalli più lunghi sono più probabili.
Come calcolare la probabilità di arrivare in un intervallo di lunghezza t in questo esempio?
Se assumiamo che la probabilità è proporzionale alla frequenza dell'intevallo e alla lunghezza dell'intervallo abbiamo :
P(t) = P(t) * t * c
Con c pari ad una costante.
Nel caso precedente per t = 5 minuti e t= 10 minuti si ha:
P(t=5) = P(t=5) * 5 * c = 1/2 * 5 * c
P(t=10) = P(t=10) * 10 * c = 1/2 * 10 * c
Inoltre si ha P(t=5) + P(t=10) = 1 (assioma della probabilità totale).
quindi da:
1/2 * 5 * c + 1/2 * 10 * c = 1
Si può ricavare la costante c e si ottiene c=2/15
da cui :
P(t=5) = 1/2 * 5 * c = 1/3 P(t=10) = 1/2 * 10 * c = 2/3
Grazie adesso me lo guardo con calma (qui il copia cache non mi funzionava) 
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