Distribuzione di Poisson
Vi posto la traccia di questo esercizio e la mia risoluzione, spero vada bene.
Un macchinario realizza mediamente 2 pezzi non conformi ogni 100 unità. Calcolare, su un lotto di 400 esemplari, la probabilità che la percentuale di non conformità superi il 3% e la probabilità che sia inferiore al 2%.
2 pezzi non conformi : 100 unità = x : 400 unità
Su 400 unità ci sono mediamente 8 pezzi non conformi.
Per risolvere il problema, utilizzo la distribuzione di Poisson.
Pongo $ lambda lambda $ = 8
Pr (X>3) = 1- (Pr(x=0)+Pr(x=1)+Pr(x=2)+Pr(x=3))
Poissono mi dice che :
$ (e^-lambda * lambda ^x)/(x!) $
Calcolo Pr(X=0) :
$ (e^-8*8^0)/(0!) $ = 3.355*10^-4
Calcolo Pr (X=1) :
$ (e^-8*8^1)/(1!) $ = 2,684*10^-3
Calcolo Pr (X=2) :
$ (e^-8*8^2)/(2!) $ = 0,0107
Calcolo Pr (X=3) :
$ (e^-8*8^3)/(3!) $ = 0,0286
Ottengo :
Pr (X>3) = 1- (3.355*10^-4 + 2,684*10^-3 + 0,0107 + 0,0286) = 95.77%
Per calcolare Pr (X<2) = 3.355*10^-4 + 2,684*10^-3 + 0,0107 = 1.37%
Che ne dite?
Un macchinario realizza mediamente 2 pezzi non conformi ogni 100 unità. Calcolare, su un lotto di 400 esemplari, la probabilità che la percentuale di non conformità superi il 3% e la probabilità che sia inferiore al 2%.
2 pezzi non conformi : 100 unità = x : 400 unità
Su 400 unità ci sono mediamente 8 pezzi non conformi.
Per risolvere il problema, utilizzo la distribuzione di Poisson.
Pongo $ lambda lambda $ = 8
Pr (X>3) = 1- (Pr(x=0)+Pr(x=1)+Pr(x=2)+Pr(x=3))
Poissono mi dice che :
$ (e^-lambda * lambda ^x)/(x!) $
Calcolo Pr(X=0) :
$ (e^-8*8^0)/(0!) $ = 3.355*10^-4
Calcolo Pr (X=1) :
$ (e^-8*8^1)/(1!) $ = 2,684*10^-3
Calcolo Pr (X=2) :
$ (e^-8*8^2)/(2!) $ = 0,0107
Calcolo Pr (X=3) :
$ (e^-8*8^3)/(3!) $ = 0,0286
Ottengo :
Pr (X>3) = 1- (3.355*10^-4 + 2,684*10^-3 + 0,0107 + 0,0286) = 95.77%
Per calcolare Pr (X<2) = 3.355*10^-4 + 2,684*10^-3 + 0,0107 = 1.37%
Che ne dite?
Risposte
Forse puoi capire da solo che i valori ottenuti sono piuttosto irrealistici...
Non devi calcolare $P(X>3)$ ma $P(X>12)$ perchè il $3%$ di $400$ è $12$, la stessa cosa per l'altro calcolo.
Non devi calcolare $P(X>3)$ ma $P(X>12)$ perchè il $3%$ di $400$ è $12$, la stessa cosa per l'altro calcolo.
Quindi il mio $ lambda $ = 12 e non 8?
Credo di essermi confuso, non è che potresti essere più chiaro per favore?
L'ho rifatto così :
allora considerando il 3% di non conformità, ho che il 3% di 400 unità è uguale a 12
Allora ho scritto :
Pr (X>12) = 1- Pr(X<12)
Pr (X<12) la calcolo così :
$ (e^-8 * 8^12)/ (12!) $ = 0,0481
A questo punto :
Pr (X>12) = 1- 0,0481 = 95,19%
Considerando il 2% di non conformità, ottengo che il 2% di 400 unità è 8
Pr(X<8) la calcolo così :
$ (e^-8 * 8^8)/ (8!) $ = 0,1396 = 13,96%
Andava svolto così?
allora considerando il 3% di non conformità, ho che il 3% di 400 unità è uguale a 12
Allora ho scritto :
Pr (X>12) = 1- Pr(X<12)
Pr (X<12) la calcolo così :
$ (e^-8 * 8^12)/ (12!) $ = 0,0481
A questo punto :
Pr (X>12) = 1- 0,0481 = 95,19%
Considerando il 2% di non conformità, ottengo che il 2% di 400 unità è 8
Pr(X<8) la calcolo così :
$ (e^-8 * 8^8)/ (8!) $ = 0,1396 = 13,96%
Andava svolto così?
Ora l'impostazione è corretta: $P(X>12)=1-P(X<=12)$, però hai calcolato soltanto $P(X=12)$ tralasciando i valori minori di $12$
Il calcolo corretto dovrebbe essere $P(X<=12)=sum_(k=0)^(12)(e^(-8)8^k)/(k!)$ oppure quando il calcolo diventa laborioso puoi valutare se si può applicare qualche approssimazione
Il calcolo corretto dovrebbe essere $P(X<=12)=sum_(k=0)^(12)(e^(-8)8^k)/(k!)$ oppure quando il calcolo diventa laborioso puoi valutare se si può applicare qualche approssimazione
per il caso in esame è possibile utilizzare un'approssimazione della variabile con una distribuzione Normale $N(lambda, lambda)$
Dato che la numerosità del campione non è grandissima (meglio sarebbe $n>1000$) è consigliato applicare una correzione di continuità, che consiste tipicamente nell'ampliare di 1⁄2 gli estremi dell'intervallo sul quale si integra la densità di probabilità continua usata per approssimare la distribuzione data.
Dato che la numerosità del campione non è grandissima (meglio sarebbe $n>1000$) è consigliato applicare una correzione di continuità, che consiste tipicamente nell'ampliare di 1⁄2 gli estremi dell'intervallo sul quale si integra la densità di probabilità continua usata per approssimare la distribuzione data.
Ho visto un esempio fatto in classe, ma non so se va bene.
Allora io devo calcolare Pr(X>12)
Io ho n=400, la mia p=0,03 ovvero il 3% perchè io so che su 400 esemplari mediante ho 12 non conformi, quindi il 3% di 400 mi da proprio 8.
Calcolo $ mu $ = n p = 400*0,03 = 12
Calcolo $ sigma $ = $ sqrt((n*p(1-p)) $ = 3,41
$ Pr ((a-0,5-np)/sqrt(np(1-p)) <=Z<= (b+0,5-np)/sqrt(np(1-p))) $
Devo calcolare $ Pr (X<12) $
Applicando la correzione per continuità ottengo :
$ Z<= (12+0,5-12)/sqrt(400*0,03*(1-0,03)) $ = 0,15
A questo punto vado in tabella della distribuzione normale e leggo il valore :
0,55952
Quindi :
$ Pr (X>12) = 1-Pr(X<12) = 1-0,55962 = 0,44038 = 44% $
VA BENE COSI'?
Allora io devo calcolare Pr(X>12)
Io ho n=400, la mia p=0,03 ovvero il 3% perchè io so che su 400 esemplari mediante ho 12 non conformi, quindi il 3% di 400 mi da proprio 8.
Calcolo $ mu $ = n p = 400*0,03 = 12
Calcolo $ sigma $ = $ sqrt((n*p(1-p)) $ = 3,41
$ Pr ((a-0,5-np)/sqrt(np(1-p)) <=Z<= (b+0,5-np)/sqrt(np(1-p))) $
Devo calcolare $ Pr (X<12) $
Applicando la correzione per continuità ottengo :
$ Z<= (12+0,5-12)/sqrt(400*0,03*(1-0,03)) $ = 0,15
A questo punto vado in tabella della distribuzione normale e leggo il valore :
0,55952
Quindi :
$ Pr (X>12) = 1-Pr(X<12) = 1-0,55962 = 0,44038 = 44% $
VA BENE COSI'?
no è sbagliato!
Seguendo la tua impostazione iniziale con la distribuzione di Poisson (la varianza della poisson è uguale alla media), la distribuzione è $N(8,8)$
Quindi la standardizzazione viene: $(X-mu)/sigma=(X-8)/sqrt(8)$
Ovvero:
$z<=(12,5-8)/(sqrt(8))=1,59$
dalle tavole trovi che $P(z<=1,59)=0,944$
per cui il tuo valore approssimato sarà 5,6%
fai conto che il calcolo preciso, utilizzando la poisson, viene $0,936$; una differenza di approssimazione dello $0,85%$....ma così i calcoli li fai in un nanosecondo
....anche perché ti voglio vedere fare un conto così manualmente....quanto tempo impieghi
In questo esercizio la maggior parte degli studenti avrebbe usato una binomiale; quindi va bene l'approssimazione che hai tentato di calcolare ma devi fare più attenzione ai dati inseriti:
$n=400$
$p=0,02$
$q=0,98$
$mu=400\cdot0,02=8$
$sigma^2=400\cdot0,02\cdot0,98=7,84$... (un po' meno di 8, ma di poco)
quindi
$z=(12,5-8)/sqrt(7,84)=1,60 rarr P(X>3%)=5,5%$
quindi $+-$ stesso risultato anche con la distribuzione binomiale
e qui c'è il calcolo esatto utilizzando una distribuzione binomiale invece di una Poisson:
Seguendo la tua impostazione iniziale con la distribuzione di Poisson (la varianza della poisson è uguale alla media), la distribuzione è $N(8,8)$
Quindi la standardizzazione viene: $(X-mu)/sigma=(X-8)/sqrt(8)$
Ovvero:
$z<=(12,5-8)/(sqrt(8))=1,59$
dalle tavole trovi che $P(z<=1,59)=0,944$
per cui il tuo valore approssimato sarà 5,6%
fai conto che il calcolo preciso, utilizzando la poisson, viene $0,936$; una differenza di approssimazione dello $0,85%$....ma così i calcoli li fai in un nanosecondo
....anche perché ti voglio vedere fare un conto così manualmente....quanto tempo impieghi
In questo esercizio la maggior parte degli studenti avrebbe usato una binomiale; quindi va bene l'approssimazione che hai tentato di calcolare ma devi fare più attenzione ai dati inseriti:
$n=400$
$p=0,02$
$q=0,98$
$mu=400\cdot0,02=8$
$sigma^2=400\cdot0,02\cdot0,98=7,84$... (un po' meno di 8, ma di poco)
quindi
$z=(12,5-8)/sqrt(7,84)=1,60 rarr P(X>3%)=5,5%$
quindi $+-$ stesso risultato anche con la distribuzione binomiale
e qui c'è il calcolo esatto utilizzando una distribuzione binomiale invece di una Poisson:
Sei stato gentilissimo e chiarissimo. Se dovessi ancora aver bisogno continuerò a scrivere
"namec5":
Sei stato gentilissimo e chiarissimo. Se dovessi ancora aver bisogno continuerò a scrivere
sono contento di esserti stato utile....però mi sarei aspettato qualche commento....del tipo: ti sei chiesto come mai i dati ottenuti con la binomiale sono pressoché identici a quelli ottenuti con la poissoniana?
va beh dai....perché è noto che
$lim_(n->+oo)((n),(k))(lambda/n)^k(1-lambda/n)^(n-k)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)$
EDIT:
$lim_(n->+oo)((n),(k))(lambda/n)^k(1-lambda/n)^(n-k)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)$
EDIT:
In realtà per il mio esame orale devo portare l'intera dimostrazione della distribuzione di Poisson. Purtroppo il mio problema con questi esercizi e con le varie distribuzioni è quello di capire, leggendo la traccia, in che caso mi trovo e quale utilizzare.
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