Distribuzione di Pascal

[maluz1]

Salve a tutti,
Ho un dubbio su questo esercizio: "Al tiro a segno del Luna Park, Aldo paga per sparare un colpo; se fa centro vince un altro colpo gratuito, se fa nuovamente centro ne vince un altro ancora, ecc. Con un singolo colpo Aldo centra il bersaglio mediamente 2 volte su 9.

-Qual è la probabilità che Aldo spari in totale almeno 5?

-Se si ripete il gioco 3 volte, qual è la probabilità che Aldo spari in totale almeno 8 colpi? Suggerimento: utilizzare la distribuzione Binomiale Negativa

Per il primo punto ho semplicemente usato la distribuzione binomiale, quindi:
$ C="tiro centrato" $
$ Pr(C) = 0.222 $
$ Pr(bar(C) ) = 0.778 $
dichiaro la mia variabile aleatoria X con cui intendo i tiri messi a segno, la probabilità sarà:
$ 1 - (Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) + Pr(X=4)) $

Per il secondo punto devo utilizzare la distribuzione di pascal, dove per fallimenti intendo i tiri messi a segno e come successi i tiri sbagliati. Se questo ragionamento fosse corretto allora l'unico dubbio che avrei è: applicando la formula della distribuzione di pascal userei N = 3 e K variabile da 0 a 4 (mi sto riferendo alla formula di Wikipedia(https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Pascal), giusto?

Grazie

[Lo_zio_Tom]

"maluz":

Per il primo punto ho semplicemente usato la distribuzione binomiale

sbagliando, perché la distribuzione in oggetto è una Geometrica. Per calcolare la probabilità richiesta, senza tanti sforzi, basta usare la CDF di tale distribuzione che è nota.

"maluz":
Per il secondo punto devo utilizzare la distribuzione di pascal... userei N = 3 e K variabile da 0 a 4 (mi sto riferendo alla formula di Wikipedia(https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Pascal), giusto?

Ni. Il ragionamento che hai fatto è correttissimo ma la probabilità richiesta è il valore complementare a quello che troveresti così.

La formula su Wiki a cui ti riferisci è corretta ma in questo caso a te serve la distribuzione del numero di prove necessarie ad avere 3 successi (dove, come hai giustamente osservato, per successo si intende l'evento "non colpisce il bersaglio").

La parametrizzazione più naturale della Binomiale negativa è la seguente:

$P{X=x}=((x-1),(r-1))p^r q^(x-r)$;

$x=r,r+1,r+2,....$

Quindi la tua probabilità è questa:

$P(X>=8)=1-sum_(x=3)^(7)((x-1),(2))(7/9)^3(2/9)^(x-3)~~0.76%$

ed ecco per controllo tutta la distribuzione della variabile aleatoria richiesta



Ovviamente il risultato è analogo a quello che troveresti utililzzando correttamete la formula che hai trovato su Wiki, anche se in questo esercizio è meno naturale:

$P(X>=8)=1-sum_(x=0)^(4)((x+2),(x))(7/9)^3(2/9)^x~~0.76%$


ciao

[maluz1]

sbagliando, perché la distribuzione in oggetto è una Geometrica. Per calcolare la probabilità richiesta, senza tanti sforzi, basta usare la CDF di tale distribuzione che è nota.

Mi sono confuso: ho usato quella geometrica in realtà

Per la spiegazione dell'ultimo punto ti ringrazio molto per la chiarezza. Effettivamente mi ero scordato del complementare.