Distribuzione di Bernoulli
Siano $X_1,...,X_n$ $n$ variabili aleatorie iid aventi legge di Bernoulli di parametro $1/2$
sia $S_n:= X_1+...+X_n$
Qualcuno mi spiega come posso dimostrare che $n-S_n$ e $S_n$ sono uguali in legge?
Grazie
sia $S_n:= X_1+...+X_n$
Qualcuno mi spiega come posso dimostrare che $n-S_n$ e $S_n$ sono uguali in legge?
Grazie
Risposte
Quanto fa $1-1/2$?
ok si fa $1/2$ ma non riesco a capire il ragionamento.
seguendo le definizioni di convergenza in distribuzione non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
Tuttavia ora non so come esprimere queste due quantità per far vedere che sono le medesime
$P(n-S_n<=x)$
$P(S_n<=x)$
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
seguendo le definizioni di convergenza in distribuzione non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
Tuttavia ora non so come esprimere queste due quantità per far vedere che sono le medesime
$P(n-S_n<=x)$
$P(S_n<=x)$
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
Magari è più semplice farlo con la funzione di massa di probabilità?
perdonami, ma non riesco a capire il tuo ragionamento (corretto eh!).
Potresti aiutarmi con qualche dettaglio in più?
dalle sole definzioni non sto giungendo a nulla.
Grazie
Potresti aiutarmi con qualche dettaglio in più?
dalle sole definzioni non sto giungendo a nulla.
Grazie
Tanto per essere sicuri: il risultato è palesemente vero ed è solo la parte formale che ti preoccupa?
Quant'è $P(S_n=k)$? $P(S_n=n-k)$? $P(n-S_n=k)$? $P(n-S_n=n-k)$?
Quant'è $P(S_n=k)$? $P(S_n=n-k)$? $P(n-S_n=k)$? $P(n-S_n=n-k)$?
Sinceramente non mi è immediato nemmeno il risultato in sé, ma vorrei capirlo perché probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.
Rispondendo alla tua domanda:
$P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1-1/2)^(n-k)$
$P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=k)=P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=n-k)=P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
Dunque si ha che le due probabilità considerate sono uguali al variare di $k$ generico e quindi sostanzialmente ho verificato la definizione di convergenza in distribuzione perché ho fatto vedere che per ogni $k$ vale l'uguaglianza dell'espressione della probabilità di $S_n$ e $n-S_n$ giusto?
Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Rispondendo alla tua domanda:
$P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1-1/2)^(n-k)$
$P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=k)=P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=n-k)=P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
Dunque si ha che le due probabilità considerate sono uguali al variare di $k$ generico e quindi sostanzialmente ho verificato la definizione di convergenza in distribuzione perché ho fatto vedere che per ogni $k$ vale l'uguaglianza dell'espressione della probabilità di $S_n$ e $n-S_n$ giusto?
Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
"GuidoFretti":
Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Mi limito a dire "Su!".
"GuidoFretti":
non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
converge? $n->+infty$? no! Che dici???
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Mi limito a dire "Su!".[/quote]
se l'uguaglianza vale per ogni $k$ varrà anche per $<=$...
no?
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
converge? $n->+infty$? no! Che dici???[/quote]
Non è la definizione di convergenza in distribuzione?
"GuidoFretti":
Non è la definizione di convergenza in distribuzione?
Ma in questo esercizio stiamo parlando di convergenza?
"GuidoFretti":
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
Ti stai perdendo simultaneamente in almeno tre bicchieri di acqua diversi, direi.
In inglese direi "There is less to this than meets the eye."
"GuidoFretti":
se l'uguaglianza vale per ogni $k$ varrà anche per $<=$...
no?
Dimmelo tu.
Hai due elenchi uguali. Finiti. Sommando valori corrispondenti da questi due elenchi pensi di poter, forse, ottenere totali diversi?
Hai ragione!
Ho capito entrambi i miei dubbi/errori.
Grazie mille
Ho capito entrambi i miei dubbi/errori.
Grazie mille
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