Distribuzione del massimo e del minimo

[gheto-]

Ciao a tutti, qualcuno riesce a spiegarmi dettagliatamente in che modo calcolare la distribuzione Z del massimo e la distrubuzione W del minimo di due variabili casuali X ed Y.

Ad esempio, caso semplice, due variabili casuali X ed Y gaussiane standard ed indipendenti tra loro, come calcolo la distribuzione del massimo, Z, e del minimo, W?

Grazie in anticipo.
Ciaooo

[Lo_zio_Tom]

Per la distribuzione di max e min è davvero banale. Ovviamente solo se le variabili sono indipendenti. Se invece non lo fossero allora devi avere informazioni circa la loro dipendenza


$Z=max(X,Y)$


$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X<=z,Y<=z)=P(X<=z)P(Y<=z)=F_(X)(z)F_(Y)(z)$

Se le variabili sono anche identicamente distribuite

$F_(Z)(z)=[F_(X)(z)]^2$

$W=min (X,Y)$

$F_(W)(w)=P(W<=w)=P(min<=w)=1-P(min>w)=1-P(X>w,Y>w)=1-P(X>w)P(Y>w)=$

$=1-[1-F_(X)(w)][1-F_(Y)(w)]$

se le variabili oltre ad essere indipendenti sono anche identicamente distribuite avrai

$F_(W)(w)=1-[1-F_(X)(w)]^2$

[gheto-]

Ottima spiegazione

Ne approfitto per porti un'altra domanda, se permetti. Dato che mi hai spiegato come calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$, se ho che le due variabili risultano essere della gaussiane standard (media nulla e varianza unitaria) statisticamente indipendenti tra loro, come faccio a calcolare $Z=max(-X;-Y)$? Allo stesso modo ci come fatto nel caso precedente? Nel senso, e' corretto fare come segue?

$Z=max(-X;-Y)$

$F_(Z)(z)=P({Z<=z})=P({-X<=z} nn {-Y<=z})=P({X>=-z})P{Y>=-z})=$
$=[1-F_(X)(-z)]^2$