Distribuzione cumulativa di probabilità conginuta

[andrew87me-votailprof]

Salve a tutti, spero di non commettere troppi errori in questo mio primo post.
Oggi mi sono imbattuto in un esercizio sulle variabili aleatorie, e non riesco a venirne a capo, ne scrivo il testo:

Siano $\xi$ e $\eta$ due variabili aleatorie indipendenti con funzione densità di probabilità esponenziale negativa unilatera con valro medio $\frac{1}{\lambda}$.
Calcolare la funzione distribuzione cumulativa di probabilità conginuta $F_{\zeta \omega}(z.w)$ delle variabili aleatorie $\zeta = max( \xi, \eta)$ e $\omega = min(\xi,\eta)$.

Intanto se non ho capito male $f_{\xi} (x) = \lambda e^{-\lambda x}$ e $f_\eta (y) = \lambda e^{-\lambda y}$ (interpretando i dati del problema).

Pensavo fosse utile calcolare le funzioni cumulative di probabilità marginali delle variabili $\zeta = max( \xi, \eta)$ e $\omega = min(\xi,\eta)$ che mi sono venute rispettivamente:
$F_{\zeta}(z) = [F_{\xi}(z)]^2 = (1-e^{-\lambda z})^2$
$F_{\omega}(w) = [1-(1-F_{\xi}(z))^2] = (1-e^{-2\lambda w})$

Ora però per calcolarmi quella conginuta, dovrei moltiplicarle se fossero indipendenti, ma dubito che massimo e minimo di 2 variabili siano indipendenti tra loro, come procedo?

[DajeForte]

Chiamo $M$ il massimo e $m$ il minimo. Mi viene piu' comodo.

$P(M<=x,m<=y)=P(M<=x)-P(M<=x,m>y)$ adesso il primo addendo lo hai calcolato, mentre il secondo hai che il minimo sia maggiore di y ed il massimo sia minore di x, dunque...

[andrew87me-votailprof]

Grazie per la risposta, ma potresti indicarmi che proprietà hai usato per ricavare quella relazione, non l'ho capito

[DajeForte]

Semplicemente che
$P(A)=P(AnnB)+P(AnnB^c)$ ovviamente perchè $A=(AnnB)uu(AnnB^c)$ e i due eventi tra parentesi sono incompatibili.

[andrew87me-votailprof]

"DajeForte":Chiamo $M$ il massimo e $m$ il minimo. Mi viene piu' comodo.

$P(M<=x,m<=y)=P(M<=x)-P(M<=x,m>y)$ adesso il primo addendo lo hai calcolato, mentre il secondo hai che il minimo sia maggiore di y ed il massimo sia minore di x, dunque...

Ma a questo punto il secondo addendo che dovrei trovarmi ($P(M<=x,m>y)$) non è sempre una probabilità congiunta di due eventi dipendenti?
Ho la sensazione di essere nella stessa condizione di prima, cosa mi sfugge?

[DajeForte]

$( M<=x,m>y)=(y

Cita

Segnala

[andrew87me-votailprof]

"DajeForte":$( M<=x,m>y)=(y

Scusami se insisto, ma potresti spiegarmi il concetto di questa relazione?
Altra cosa, per $X_1$ intendi $\xi$ e per $X_2$ intendi $\eta$?

[DajeForte]

Si intendo quelle.

Se il massimo è minore di x e il minimo maggiore di y allora entrambe le variabili sono comprese tra y e x;
al contrario se le due variabili sono comprese tra y e x allora il massimo è minore di x ed il minimo maggiore di y.

Dunque i due eventi sono uguali.