Distribuzione continua di probabilità e redditività...
Salve ragazzi, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
"Secondo il modello di business A la redditività di un'azienda è una variabile aleatoria $X_A$ distribuita su $[0,\infty)$ secondo la distribuzione $f_A(x)=c_A(x+1)^-3$. Secondo il modello di business B invece è distribuita secondo la distribuzione $f_B(x)=c_Bxe^-x$. Dopo aver normalizzato le due distribuzioni, decidete quale modello di business sia conveniente guardando la redditività media oppure la probabilità che la redditività sia almeno 5"
In merito alla prima parte dell'esercizio non ho avuto molte difficoltà: nel normalizzare le due distribuzioni ho tenuto conto dei seguenti integrali eguagliati ad 1
$\int_0^\infty c_A(x+1)^-3 dx=1$
$\int_0^\infty c_Bxe^-xdx=1$
in questo modo ho calcolato le due costanti di normalizzazione che sono risultate essere (non vi tedio con i conti):
$c_A=2$ e $c_B=1$
A questo punto mi sono bloccato perché non riesco a capire cosa si intenda per redditività media, ho provato a calcolare la previsione per entrambe le distribuzioni e nel caso del modello A ho ottenuto un integrale divergente mentre per il modello B la previsione è risultata pari a 2, qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo 
"Secondo il modello di business A la redditività di un'azienda è una variabile aleatoria $X_A$ distribuita su $[0,\infty)$ secondo la distribuzione $f_A(x)=c_A(x+1)^-3$. Secondo il modello di business B invece è distribuita secondo la distribuzione $f_B(x)=c_Bxe^-x$. Dopo aver normalizzato le due distribuzioni, decidete quale modello di business sia conveniente guardando la redditività media oppure la probabilità che la redditività sia almeno 5"
In merito alla prima parte dell'esercizio non ho avuto molte difficoltà: nel normalizzare le due distribuzioni ho tenuto conto dei seguenti integrali eguagliati ad 1
$\int_0^\infty c_A(x+1)^-3 dx=1$
$\int_0^\infty c_Bxe^-xdx=1$
in questo modo ho calcolato le due costanti di normalizzazione che sono risultate essere (non vi tedio con i conti):
$c_A=2$ e $c_B=1$
A questo punto mi sono bloccato perché non riesco a capire cosa si intenda per redditività media, ho provato a calcolare la previsione per entrambe le distribuzioni e nel caso del modello A ho ottenuto un integrale divergente mentre per il modello B la previsione è risultata pari a 2, qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
L'integrale della tua previsione per il modello A è di questo tipo:
$int_0^(oo)x/(1+x)^3 dx=int_0^(oo)(x+1-1)/(1+x)^3 dx=int_0^(oo)[1/(1+x)^2-1/(1+x)^3]dx=[1/(2(1+x)^2)-1/(1+x)]_0^(oo)$
Come fa a divergere?
Ora puoi proseguire con l'esercizio, che è molto semplice.
PS:la densità dell'altro modello è una distribuzione nota: quale?
$int_0^(oo)x/(1+x)^3 dx=int_0^(oo)(x+1-1)/(1+x)^3 dx=int_0^(oo)[1/(1+x)^2-1/(1+x)^3]dx=[1/(2(1+x)^2)-1/(1+x)]_0^(oo)$
Come fa a divergere?
Ora puoi proseguire con l'esercizio, che è molto semplice.
PS:la densità dell'altro modello è una distribuzione nota: quale?
Grazie tommik 
...hai ragione ho sbagliato a calcolare l'integrale definito 
a questo punto posso affermare che la previsione per il modello A è pari ad $1/2$ mentre per il modello B è $2$, quindi il modello B è da preferire a quello A...
In merito alla tua domanda ("PS:la densità dell'altro modello è una distribuzione nota: quale?") direi che trattasi di una distribuzione esponenziale
Un ultimo dubbio: perchè il testo recita "[...]oppure la probabilità che la redditività sia almeno 5", otterrei un risultato diverso rispetto alla "redditività media"? come potrei calcolarla?
...hai ragione ho sbagliato a calcolare l'integrale definito a questo punto posso affermare che la previsione per il modello A è pari ad $1/2$ mentre per il modello B è $2$, quindi il modello B è da preferire a quello A...
In merito alla tua domanda ("PS:la densità dell'altro modello è una distribuzione nota: quale?") direi che trattasi di una distribuzione esponenziale
Un ultimo dubbio: perchè il testo recita "[...]oppure la probabilità che la redditività sia almeno 5", otterrei un risultato diverso rispetto alla "redditività media"? come potrei calcolarla?
Media $1/2$mmmmhhh.. Non mi pare...fa $1/2$ l'integrale che ho scritto io..poi ci devi moltiplicare la costante di normalizzazione....sarà 1.
La distribuzione del modello b è una $"Gamma"(2,1)$ appunto di media $2/1=2$
Per l'ultima richiesta devi calcolare ciò che ti chiede; è un altro metodo di valutazione ....dai che è davvero elementare
La distribuzione del modello b è una $"Gamma"(2,1)$ appunto di media $2/1=2$
Per l'ultima richiesta devi calcolare ciò che ti chiede; è un altro metodo di valutazione ....dai che è davvero elementare
Mi sto fondendo! 
hai ragione tommik ho dimenticato di moltiplicare per la $c_A$...
Illuminante la distribuzione Gamma...non ci avevo pensato
In merito all'ultimo quesito ho ricalcolato gli integrali per le due distribuzioni nell'intervallo $[5,\infty)$ al fine di tener conto di una redditività di "almeno" 5, quindi:
$\int_5^\infty (x+1)^3dx$ quindi a conti fatti $1/72=0,014=1,4%$
$\int_5^\infty xe^-xdx$ quindi a conti fatti $6/e^5=0,040=4%$
Anche in questo caso il modello B risulta giustamente più performante del modello A
Ho commesso errori di valutazione? davvero grazie per le tue risposte
hai ragione tommik ho dimenticato di moltiplicare per la $c_A$...Illuminante la distribuzione Gamma...non ci avevo pensato
In merito all'ultimo quesito ho ricalcolato gli integrali per le due distribuzioni nell'intervallo $[5,\infty)$ al fine di tener conto di una redditività di "almeno" 5, quindi:
$\int_5^\infty (x+1)^3dx$ quindi a conti fatti $1/72=0,014=1,4%$
$\int_5^\infty xe^-xdx$ quindi a conti fatti $6/e^5=0,040=4%$
Anche in questo caso il modello B risulta giustamente più performante del modello A
Ho commesso errori di valutazione? davvero grazie per le tue risposte
Hai scritto erroneamente $(1+x)^3$ invece di $(1+x)^(-3)$ ma mi pare solo un refuso. Se hai fatto i conti bene hai finito. Non farmeli ricontrollare.
Per la distribuzione gamma, invece che risolvere l'integrale potresti usare le tavole della chi quadro. In questo caso magari no perché l'integrale è semplicissimo ma in altri casi potrebbe aiutare
Per la distribuzione gamma, invece che risolvere l'integrale potresti usare le tavole della chi quadro. In questo caso magari no perché l'integrale è semplicissimo ma in altri casi potrebbe aiutare
Grazie tommik non solo per le risposte che mi hai dato ma anche per l'eccelso contributo che dai a questo forum...mi sono tolto perecchi dubbi 
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