Distribuzione congiunta e marginale

[Tintorz]

Buonasera, sono gli ultimi minuti prima di assopirmi per dare l'esame domani, spero ci sia qualcuno che ancora è attivo.
Le v.a. $X,Y$ sono assolutamente continue e hanno densità congiunta:

$\rho(x,y)=$
\begin{cases} cx^2+y^2 0<=x,y=1,\\ 0 altrimenti \end{cases}

Trovare c, distribuzione congiunta di $3X,XY$.

$ int_(0)^(1)int_(0)^(1) cx^2y^2 dxdy = 1 $
Dopo aver svolto gli integrali risulta $c=9$.

Ora, per trovare la legge congiunta ho:

$F(s,t)=P(3X<=s,XY<=t)=P(X<=s/3,Y<=t/X)=$
$ int_(0)^(s/3)int_(0)^(t/x) 9x^2y^2 dxdy $

Ma so subito che c'è un errore poiché bisogna rifarsi ad una figura (un quadrato) che sta nel grafico, considerare s>=0, 0 Grazie a chi mi salva un esame con questa lacuna.

[Tintorz]

La densità è $cx^2y^2$ con gli stessi parametri di cui sopra.
Se si tratta solo di ripassare analisi II va bene, se invece la suddivisione degli estremi della figura ha a che fare con probabità sono tutt'orecchi.

[Lo_zio_Tom]

Intanto puoi notare che la densità congiunta è il prodotto di due $"Beta"(3;1)$ indipendenti e quindi $f(x,y)=9x^2y^2mathbb(1)_((0;1))(x)mathbb(1)_((0;1))(y)$

Poi per la congiunta richiesta basta un semplice cambio di variabili trovando

$f(u,v)=9v^2/u$

Avendo posto $U=3X$ e $V=XY$

L'unica "difficoltà " è calcolare il nuovo supporto che è il triangolo $mathbb(1)_((0;3))(u)mathbb(1)_((0;u/3))(v)$

....da appiccicare alla densità trovata