Distribuzione chi quadrato
Salve ragazzi sono nuovo del forum e spero in un vostro aiuto circa la seguente questione: mi è stato assegnato questo esercizio che in una prima risoluzione ho affrontato con un po' di superficialità 
Si consideri il seguente test di ipotesi:
\(H_m\ :\ Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2_m*I)\ |\ m=0,1... M-1\)
dove $I$ è la matrice identica di dimensioni n*n. Individuare una statistica sufficiente per m, la meno informativa possibile, e stabilire se è minimale.
La statistica sufficiente trovata, $T(Y)$, è la norma al quadrato dell'osservabile $Y$. Nel dimostrarne la completezza si è applicato il teorema fondamentale della media su una funzione $g(T(Y))$. Il problema si pone circa la definizione della pdf di $T(Y)$ in quanto trattandosi della norma al quadrato di $Y$ (gaussiano) questa non si distribuisce più come una gaussiana. Se si avessse una gaussiana standard potrei dire che la pdf della norma al quadrato di $Y$ si distribuisce come una chi quadro (se non ho capito male). Nel mio caso le componenti dell'osservabile sono a media nulla ma non a varianza unitaria
Avete dei consigli?
Si consideri il seguente test di ipotesi:
\(H_m\ :\ Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2_m*I)\ |\ m=0,1... M-1\)
dove $I$ è la matrice identica di dimensioni n*n. Individuare una statistica sufficiente per m, la meno informativa possibile, e stabilire se è minimale.
La statistica sufficiente trovata, $T(Y)$, è la norma al quadrato dell'osservabile $Y$. Nel dimostrarne la completezza si è applicato il teorema fondamentale della media su una funzione $g(T(Y))$. Il problema si pone circa la definizione della pdf di $T(Y)$ in quanto trattandosi della norma al quadrato di $Y$ (gaussiano) questa non si distribuisce più come una gaussiana. Se si avessse una gaussiana standard potrei dire che la pdf della norma al quadrato di $Y$ si distribuisce come una chi quadro (se non ho capito male). Nel mio caso le componenti dell'osservabile sono a media nulla ma non a varianza unitaria
Avete dei consigli?
Risposte
Devi usare la sostituzione \(\displaystyle x \to \frac{x}{\sigma} \) nella distribuzione chi quadrato.
Grazie era quello che pensavo...
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