Distribuzione campionaria
Sto provando a svolgere questo quesito ma con scarsi risultati 
Gli aumenti percentuali di stipendio dei dirigenti di massimo livelle delle imprese di medie dimensioni sono distribuiti normalmente, con media 12% e deviazione standard 3,6%. Si consideri un campione casuale di 81 dirigenti di questo livello: qual è la probabilità che più della metà del campione abbia aumenti inferiori al 10%?
Ho provato in diversi modi ma il risultato che ottengo è 0,0477 quando invece dovrebbe essere 0!
Gli aumenti percentuali di stipendio dei dirigenti di massimo livelle delle imprese di medie dimensioni sono distribuiti normalmente, con media 12% e deviazione standard 3,6%. Si consideri un campione casuale di 81 dirigenti di questo livello: qual è la probabilità che più della metà del campione abbia aumenti inferiori al 10%?
Ho provato in diversi modi ma il risultato che ottengo è 0,0477 quando invece dovrebbe essere 0!
Risposte
Ciao. Io farei così:
sia $X_i\simN(0.12,0.036)$; allora $p=Pr(X_i<=0.10)=\Phi({0.10-0.12}/0.036)~~0.2893$, dove $\Phi(x)$ è la funzione di distribuzione normale standard, valutata in $x$.
Definisci $Y_i=\{("1 se" X_i<=0.10),("0 altrimenti"):}$. Allora $Y_i\simbern(p)$. Sia $Z=sum_{i=1}^{81}Y_i$; allora $Z\sim"bin"(n,p)$. Così $Pr(Z>=41)=sum_{j=41}^{81}((81),(j))p^j(1-p)^{81-j}=1-sum_{j=0}^{40}((81),(j))p^j(1-p)^{81-j}~~0$
Questa probabilità non è proprio zero (a me viene 1-0.9999673..)
sia $X_i\simN(0.12,0.036)$; allora $p=Pr(X_i<=0.10)=\Phi({0.10-0.12}/0.036)~~0.2893$, dove $\Phi(x)$ è la funzione di distribuzione normale standard, valutata in $x$.
Definisci $Y_i=\{("1 se" X_i<=0.10),("0 altrimenti"):}$. Allora $Y_i\simbern(p)$. Sia $Z=sum_{i=1}^{81}Y_i$; allora $Z\sim"bin"(n,p)$. Così $Pr(Z>=41)=sum_{j=41}^{81}((81),(j))p^j(1-p)^{81-j}=1-sum_{j=0}^{40}((81),(j))p^j(1-p)^{81-j}~~0$
Questa probabilità non è proprio zero (a me viene 1-0.9999673..)
Si si il conto è giusto. Però l'esercizio è preso da un tema d'esame (di un'ora ) e credo che un conto così sia troppo lungo...anche perchè la soluzione indica solamente: P(Z>4,22) ≈ 0...solo che sto 4,22 non so da dove esca fuori
) e credo che un conto così sia troppo lungo...anche perchè la soluzione indica solamente: P(Z>4,22) ≈ 0...solo che sto 4,22 non so da dove esca fuori
Perché è stato usato il teorema del limite centrale per variabili casuali che sono i.i.d.
Come detto, sia $Y_i\simber(p)$ e definisci $S_n=sum_{i=1}^{n}Y_i$; allora il teorema del limite centrale ti dice che:
${S_n-nE[Y_1]}/{sqrt(nVar(Y_1))}\rightarrowN(0,1$), per $n\rightarrowinfty$ (questa convergenza è in distribuzione), dove $E[Y_1]=p$ e $Var(Y_1)=p(1-p)$.
Allora per $n=81$ puoi assumere con adeguato grado di approssimazione che ${S_{81}-81p}/{sqrt(81p(1-p))}\simN(0,1)$...
Come detto, sia $Y_i\simber(p)$ e definisci $S_n=sum_{i=1}^{n}Y_i$; allora il teorema del limite centrale ti dice che:
${S_n-nE[Y_1]}/{sqrt(nVar(Y_1))}\rightarrowN(0,1$), per $n\rightarrowinfty$ (questa convergenza è in distribuzione), dove $E[Y_1]=p$ e $Var(Y_1)=p(1-p)$.
Allora per $n=81$ puoi assumere con adeguato grado di approssimazione che ${S_{81}-81p}/{sqrt(81p(1-p))}\simN(0,1)$...
Scusa, potresti gentilmente spiegarmi come hai applicato il teorema del limite centrale in questo problema? Ho diversi dati, p=0.12, sigma di p= 0.036, poi in seguito mi chiede "Si consideri un campione casuale di 81 dirigenti di questo livello: qual è la probabilità che più della metà del campione abbia aumenti inferiori al 10%?" ed è a questo punto che mi blocco! Non so se la sottrazione a numeratore ,che dovrei fare prima di dividere per lo scarto, è 0.1-0.12
Grazie mille, mi sei stato d'aiuto 
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