Distribuzione Beta

[poncelet]

Ho questo esercizio:

Se $X$ ha una distribuzione Beta, $E[1/X]$ può essere uguale a 1?

Io ho ragionato così:

$E[X^{k}]=1/(B(a,b))int_{0}^{1}x^{k+a-1}(1-x)^{b-1}dx$

Con $k=-1$ otteniamo: $1/(B(a,b))int_{0}^{1}x^{a-2}(1-x)^{b-1}dx=\frac{B(a-1,b)}{B(a,b)}=\frac{\Gamma(a-1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b-1)}*\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}=\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(a+b-1)}=\frac{\Gamma(a-1)(a+b-1)\Gamma(a+b-1)}{(a-1)\Gamma(a-1)\Gamma(a+b-1)}$

Semplificando ottengo:

$\frac{a+b-1}{a-1}$ Se uguaglio ad 1 come chiesto dall'esercizio ottengo come soluzione $b=0$ che è impossibile visto che la funzione Beta ha parametri strettamente positivi. Quindi la risposta al quesito dell'esercizio sarebbe negativa. E' corretto?

[DajeForte]

Secondo me ti conviene ragionare così:

$P(0 $P(1/X>1)=1$ quindi non può avere valore atteso 1.

Oppure anche con la disuguaglianza di Jensen ottieni qualcosa.

[poncelet]

"DajeForte":
Oppure anche con la disuguaglianza di Jensen ottieni qualcosa.

La diseguaglianza di Jensen dice che se $g(x)$ è una funzione convessa allora $E[g(X)]\geq g(E[X])$

Ora $1/x$ è convessa nell'intervallo $(0,1)$ quindi siccome la media di una distribuzione $B(a,b)$ è $\frac{a}{a+b}$ e il suo reciproco è $\frac{a+b}{a}$ la disuguaglianza di Jensen dice che $E[1/X]\geq 1/(E[X]) => E[1/X]\geq \frac{a+b}{a}$. Siccome $\frac{a+b}{a}$ è sempre maggiore di 1 (dato che $a$ e $b$ sono strettamente positivi), ottengo che $E[1/X]$ non potrà mai essere uguale a 1. Giusto? Ma la mia soluzione precedente era sbagliata o troppo macchinosa?

[DajeForte]

No era giusto solo un po' macchinoso