Distribuzione Bernoulliana condizionata da geometrica

[Tintorz]

Siano $X,Y$ v.a. con $X$ che segue distribuzione geometrica modificata con $P(X=k)=p(1-p)^k,p\in(0,1)$ e $Y$ distribuita in ${0,1}$ e $P(Y=1|X=k)=q^k,q\in[0,1]$.
Calcola pmf di $Y$, dato $Z=XY$ calcolare $\rho_{Z}$ e Media.

Ho provato a cavarne qualcosa, ma mi sono subito reso conto che $P(Y=1|X=k)$ diverso da $(P(Y=1))/(P(X=k))=q^k$ per cui mi limito a scrivere l'impostazione della soluzione senza i valori esatti.

$f_{Y}(y) = $ \begin{cases} p_{Be} &y=1 \\ 1-p_{Be}&y=0 \end{cases}

$\rho_{Z}(z) =$ \begin{cases} f_{X}(0)*f_{Y}(0) &z=0 \\ f_{X}(k)*f_{Y}(1)&z=k \end{cases}

$\mathbb{E}[Z] = (z(\rho_{Z}(0)) + z(\rho_{Z}(z)))/2$

Con un piccolo aiuto sul trovare la distribuzione bernoulliana dovrei essere apposto, grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

"ingetor":
Con un piccolo aiuto sul trovare la distribuzione bernoulliana dovrei essere apposto....

Sì, apposto per buttare tutto nel cestino e rifare l'esercizio daccapo.


NOTA: in questo esercizio $p,q$ sono due valori di probabilità indipendenti, non come spesso avviene in cui uno è il complementare dell'altro.

1) Calcolare la legge marginale di Y.

molto semplice....basta considerare che

$mathbb{P}[Y=1]=Sigma_k mathbb{P}[X=k]mathbb{P}[Y=1|X=k]$

E' la formula di disintegrazione, cioè quella che trovi al denominatore del teorema di Bayes, per intenderci.
Qualche semplice conto e trovi subito la pmf della bernulli in oggetto:

$Y~"Bin"[1;p/(1-q(1-p))]$

2) La legge di $Z=XY$

Anche qui molto semplicemente[nota]non è vero che $Z=0$ solo quando entrambe X,Y sono zero come hai scritto tu. La $Z$ vale zero quando, per qualunque valore di X, $Y=0$ oppure quando $Y=1$ e contemporaneamente $X=0$[/nota]. (non scrivo tutti i calcoli perché sono davvero banali)

$Z={{: ( (p^2+(1-p)(1-q))/(1-q(1-p)) , ;"if "z=0 ),( (p^2(1-p)^z)/(1-q(1-p)) ,;"if "z=1;2;3;... ) :}$

3) Evito di commentare come hai definito $mathbb{E}[Z]$ e posto i conti (ci sono altre strade ma questa è la più elegante)

$mathbb{E}[Z]=sum_(z=1)^(oo)z(p^2(1-p)^z)/(1-q(1-p)) =$

$=(p^2(1-p))/(1-q(1-p)) sum_(z=1)^(oo)z(1-p)^(z-1)=$

$=(p^2(1-p))/(1-q(1-p)) sum_(z=1)^(oo)d/(d(1-p))(1-p)^z=$

$=(p^2(1-p))/(1-q(1-p))d/(d(1-p))sum_(z=1)^(oo)(1-p)^z=$

$=(p^2(1-p))/(1-q(1-p))d/(d(1-p))[(1-p)/(1-(1-p))]=$

$(p^2(1-p))/(1-q(1-p))(1-(1-p)+(1-p))/p^2=(1-p)/(1-q(1-p))$

3b) volendo evitare tutti i conti analitici (anche se una tantum è utile sporcarsi le manine) è possibile ricavare lo stesso risultato sfruttando la media di distribuzioni note; in particolare, ricordando che, se $W$ è una geometrica di parametro $p$ definita su $w=1,2,3,...$, è $mathbb{E}[W]=1/p$, otteniamo subito


$mathbb{E}[Z]=sum_(z=1)^(oo)z(p^2(1-p)^z)/(1-q(1-p)) =(p(1-p))/(1-q(1-p))sum_(z=1)^(oo)zp(1-p)^(z-1)= (p(1-p))/(1-q(1-p))mathbb{E}[W]=(1-p)/(1-q(1-p))$