Distorsione dello stimatore dei minimi quadrati (OLS) nel modello di regressione semplice

[sadsk8]

si consideri lo stimatore dei minimi quadrati del coefficiente del regressore nel modello di regressione semplice.
1. dimostrare che tale stimatore risulta non distorto, indicando quali ipotesi assumiamo siano soddisfatte dal modello
2. spiegare il significato della proprietà di non distorsione
3. quali sono le condizioni più comuni che rendono in pratica distorto tale stimatore?

Qualcuno potrebbe aiutarmi a rispondere a queste domande? Grazie

[Gughigt]

Non distorto o all'anglosassone "unbiased" significa corretto e cioè uno stimatore in grado di non commettere errori sistematicamente.
Questo, formalmente, significa che il suo valore atteso (cfr. "sistematicamente") sia uguale al valore effettivo della variabile che si vuole stimare:

$E[hat(beta)]=beta$

Lo stimatore ottenuto[nota]Dalla soluzione di un problema di ottimizzazione e non piovuto dal cielo[/nota] con il metodo dei minimi quadrati ordinari nel caso univariato è:

$hat(beta)_(OLS)=(sigma_(XY))/(sigma_(X)^2)$

A questo punto devi solo applicare l’operatore valore atteso.
Le ipotesi sottostanti sono quelle che avresti dovuto studiare ancor prima di arrivare a determinare lo stimatore OLS.
Per rispondere all'ultima domanda prova a pensare quale situazione reale porterebbe a violare una delle ipotesi alla base del modello.
La prossima volta, posta anche un abbozzo di soluzione proposta da te.