Disposizioni/combinazioni/permutazioni...caos
allora, il mio problema è il seguente: sto facendo una confusione pazzesca 
più precisamente mi è stato assegnato un esercizio (di scienze della comunicazione) in cui devo calcolare l'entropia di alcune situazioni. una di queste è la seguente: su una serie di 7 eventi indipendenti devo calcolarne l'entropia quando 4 di questi avvengono...spiegato meglio diventerebbe: ho un vaso con delle palline di 2 colori. nel caso in cui vengano estratte 4 palline dello stesso colore mi fermo (n = nero, r = rosso => nrnrrr ==> mi fermo). ora il mio problema è il seguente: devo trovare le probabilità che l'estrazione di fermi a 4(es: rrrr)-5(es: rnrrr)-6(es: rnrnrr) oppure a 7(es: rnrnrnr). è qui che sorge il dilemma: ho fatto una confusione pazzesca e non riesco più a venirne a capo (e wikipedia è criptico
). una buon'anima potrebbe aiutarmi???
più precisamente mi è stato assegnato un esercizio (di scienze della comunicazione) in cui devo calcolare l'entropia di alcune situazioni. una di queste è la seguente: su una serie di 7 eventi indipendenti devo calcolarne l'entropia quando 4 di questi avvengono...spiegato meglio diventerebbe: ho un vaso con delle palline di 2 colori. nel caso in cui vengano estratte 4 palline dello stesso colore mi fermo (n = nero, r = rosso => nrnrrr ==> mi fermo). ora il mio problema è il seguente: devo trovare le probabilità che l'estrazione di fermi a 4(es: rrrr)-5(es: rnrrr)-6(es: rnrnrr) oppure a 7(es: rnrnrnr). è qui che sorge il dilemma: ho fatto una confusione pazzesca e non riesco più a venirne a capo (e wikipedia è criptico
). una buon'anima potrebbe aiutarmi???
Risposte
cavoli, ho sbagliato sezione, andrebbe in probabilità...chiedo scusa ai moderatori =(
[mod="Martino"]Niente paura, sposto.
Buona continuazione.[/mod]
Buona continuazione.[/mod]
Se non sbaglio è possibile usare questo modo di procedere:
Puoi sostanzialmente vedere che ti fermi alla quarta estrazione solo se tutte le estrazioni danno lo stesso esito. Definiamo il numero aleatorio $X$ che rappresenta, ad esempio, il numero di palline rosse estratte. Sostanzialmente noi cerchiamo la probabilità che $X=4$ (estratte quattro rosse) oppure $X=0$ (estratte quattro nere). Allora $P(X=4 oppure X=0) = P(X=4) + P(X=0)$ ma, se supponiamo estrazioni equiprobabili ($p=1/2$), vediamo che $P(X=4) = \prod_{i=1}^4 P(\text{rossa all'estrazione} i\text{-esima}) = p^4 = (1/2)^4 = 1/16$. Ora vediamo che essendo le estrazioni equiprobabili si ha $P(X=4)=P(X=0)$ quindi $P(X=4 oppure X=0) = 2P(X=4) = 2/16 = 1/8$. Allora la probabilità di fermarsi alla quarta estrazione è di $1/8$.
Per vedere il caso in cui ci si ferma alla quinta estrazione puoi vedere qual'è la probabilità di avere $X=3$ alla quarta estrazione e una rossa alla quinta oppure $X=1$ alla quarta estrazione ed una nera alla quinta. Il procedimento lo puoi estendere per la sesta.
Alla settima estrazione ovviamente ci si ferma sempre perchè almeno quattro saranno uguali
Puoi sostanzialmente vedere che ti fermi alla quarta estrazione solo se tutte le estrazioni danno lo stesso esito. Definiamo il numero aleatorio $X$ che rappresenta, ad esempio, il numero di palline rosse estratte. Sostanzialmente noi cerchiamo la probabilità che $X=4$ (estratte quattro rosse) oppure $X=0$ (estratte quattro nere). Allora $P(X=4 oppure X=0) = P(X=4) + P(X=0)$ ma, se supponiamo estrazioni equiprobabili ($p=1/2$), vediamo che $P(X=4) = \prod_{i=1}^4 P(\text{rossa all'estrazione} i\text{-esima}) = p^4 = (1/2)^4 = 1/16$. Ora vediamo che essendo le estrazioni equiprobabili si ha $P(X=4)=P(X=0)$ quindi $P(X=4 oppure X=0) = 2P(X=4) = 2/16 = 1/8$. Allora la probabilità di fermarsi alla quarta estrazione è di $1/8$.
Per vedere il caso in cui ci si ferma alla quinta estrazione puoi vedere qual'è la probabilità di avere $X=3$ alla quarta estrazione e una rossa alla quinta oppure $X=1$ alla quarta estrazione ed una nera alla quinta. Il procedimento lo puoi estendere per la sesta.
Alla settima estrazione ovviamente ci si ferma sempre perchè almeno quattro saranno uguali
scusa ma in questi ultimi giorno sono stato occupato con l'uni...comunque ho seguito il tuo procedimento ed in effetti mi porta alla soluzione esatta. grazie mille per l'aiuto 
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