Disposizioni di libri su scaffali circolari
Ciao a tutti.
Nelle disposizioni di libri su scaffali ho capito il procedimento. Ovvero, se mi viene chiesto di disporre $a_1, a_2, ...a_n$ gruppi di libri di $n$ materie diverse in modo che le materie dei rispettivi libri restino raggruppate faccio $a_1!a_2!...a_n!$ moltiplicate per il numero dei gruppi al fattoriale. Ora devo estendere il procedimento ad uno scaffale che si chiude su se stesso, ad esempio uno circolare. Come faccio? Avevo pensato di dividere il risultato semplicemente per il numero gruppi ma non mi tornano i risultati. Se ad esempio ho una di queste librerie con 9 libri di arte e 3 di matematica disposti come $3, 1, 3, 1, 3, 1$ dove i tre sono libri di arte, quale è la probabilità di ottenerla da una disposizione casuale? Lo spazio campione é $12!$, ma appunto non so cosa vada al numeratore del calcolo della probabilità.
Nelle disposizioni di libri su scaffali ho capito il procedimento. Ovvero, se mi viene chiesto di disporre $a_1, a_2, ...a_n$ gruppi di libri di $n$ materie diverse in modo che le materie dei rispettivi libri restino raggruppate faccio $a_1!a_2!...a_n!$ moltiplicate per il numero dei gruppi al fattoriale. Ora devo estendere il procedimento ad uno scaffale che si chiude su se stesso, ad esempio uno circolare. Come faccio? Avevo pensato di dividere il risultato semplicemente per il numero gruppi ma non mi tornano i risultati. Se ad esempio ho una di queste librerie con 9 libri di arte e 3 di matematica disposti come $3, 1, 3, 1, 3, 1$ dove i tre sono libri di arte, quale è la probabilità di ottenerla da una disposizione casuale? Lo spazio campione é $12!$, ma appunto non so cosa vada al numeratore del calcolo della probabilità.
Risposte
Se non sono stato chiaro ditemelo.
Ma non ho bene capito il nesso tra la prima parte e le ultime due righe. La seconda parte (se ho capito bene) hai solo due materie, quindi puoi pensare che hai 12 box dove dovrai mettere degli 1 (ad esmpio 1=Arte e quindi ne devi mettere 9) e degli 0 (in questo caso 3; 0=matematica)...
Per il primo io direi: prendi una libreria circolare tagliala in un punto, e stendila. Trova ora la condizione sulla ibreria stesa in maniera che una volta richiusa si ottenga l'ordinamento richiesto. Ad esempio se in quella stesa sono tutte ordinate (come hai detto te nelle prime due righe) una volta che la richiudi rimangono bene ordinate...
...a te la continuazione
Per il primo io direi: prendi una libreria circolare tagliala in un punto, e stendila. Trova ora la condizione sulla ibreria stesa in maniera che una volta richiusa si ottenga l'ordinamento richiesto. Ad esempio se in quella stesa sono tutte ordinate (come hai detto te nelle prime due righe) una volta che la richiudi rimangono bene ordinate...
...a te la continuazione
Ma non ho bene capito il nesso tra la prima parte e le ultime due righeLa prima parte è il procedimento generale per un normale scaffale, ora lo devo estendere ad una libreria che si chiude su se stessa, ed in fondo presento un tale problema.
La seconda parte (se ho capito bene) hai solo due materie, quindi puoi pensare che hai 12 box dove dovrai mettere degli 1 (ad esmpio 1=Arte e quindi ne devi mettere 9) e degli 0 (in questo caso 3; 0=matematica)...Questo è quanto ho spiegato nella prima parte, eh.
Per il primo io direi: prendi una libreria circolare tagliala in un punto, e stendila.
Trova ora la condizione sulla ibreria stesa in maniera che una volta richiusa si ottenga l'ordinamento richiesto. Ad esempio se in quella stesa sono tutte ordinate (come hai detto te nelle prime due righe) una volta che la richiudi rimangono bene ordinate...Ma è questa la domanda.
...a te la continuazione
Immagina di avere 5 palline numerate da 1 a 5 e di volerle disporle ordinate su uno scaffale:
Hai un sol modo per farlo [1-2-3-4-5]
p = $1/(n!)$
Immagina che lo scaffale sia rotondo (come nel tuo esempio).
Significa che non esiste un inizio ed una fine, ma qualsiasi posto (dei 5) puo essere considerato come iniziale.
Pertanto saranno valide le soluzioni [1-2-3-4-5] ma anche la [2-3-4-5-1] ed anche altre. Puoi far "girare" la soluzione 5 volte ( ovvero n ).
p = $n/(n!)$
applica ora questo concetto al tuo caso.
Hai un sol modo per farlo [1-2-3-4-5]
p = $1/(n!)$
Immagina che lo scaffale sia rotondo (come nel tuo esempio).
Significa che non esiste un inizio ed una fine, ma qualsiasi posto (dei 5) puo essere considerato come iniziale.
Pertanto saranno valide le soluzioni [1-2-3-4-5] ma anche la [2-3-4-5-1] ed anche altre. Puoi far "girare" la soluzione 5 volte ( ovvero n ).
p = $n/(n!)$
applica ora questo concetto al tuo caso.
@Umby:vista la latitanza di linda man sarei curioso di vedere come sei arrivato alla soluzione
Succede frequentemente. utenti che inseriscono domande, e poi non partecipano alla discussione. 
Non è che avevo trovato la soluzione, avevo solamente indicato la strada da percorrere.
Se ho ben capito Linda vuole disporre su uno scaffale i libri in questo modo: AAAMAAAMAAAM
Scaffale lineare
Su 12 libri abbiamo 9 di tipo A e 3 di tipo M.
la soluzione è semplice $(9!) * (3!)$
Scaffale circolare
Secondo il mio ragionamento di sopra possiamo far "girare" la soluzione iniziale (in questo caso 4 volte)
possiamo prendere come soluzioni valide oltre a quella iniziale, anche:
[AAAMAAAMAAAM] iniziale
[AAMAAAMAAAMA]
[AMAAAMAAAMAA]
[MAAAMAAAMAAA]
questo perchè c'e' continuità tra l'ultima posizione e la prima, in virtu' della circolarità dello scaffale.
Quindi possiamo dire che ci sono:
$(9!) * (3!) * 4$ modi diversi.
Ci sarebbe da fare una ultima riflessione:
E' giusto dividere il risultato ottenuto per 12 ?
Si ? Perchè ?
No ? Perchè ?
Lascio a te il commento finale.
Non è che avevo trovato la soluzione, avevo solamente indicato la strada da percorrere.
Se ho ben capito Linda vuole disporre su uno scaffale i libri in questo modo: AAAMAAAMAAAM
Scaffale lineare
Su 12 libri abbiamo 9 di tipo A e 3 di tipo M.
la soluzione è semplice $(9!) * (3!)$
Scaffale circolare
Secondo il mio ragionamento di sopra possiamo far "girare" la soluzione iniziale (in questo caso 4 volte)
possiamo prendere come soluzioni valide oltre a quella iniziale, anche:
[AAAMAAAMAAAM] iniziale
[AAMAAAMAAAMA]
[AMAAAMAAAMAA]
[MAAAMAAAMAAA]
questo perchè c'e' continuità tra l'ultima posizione e la prima, in virtu' della circolarità dello scaffale.
Quindi possiamo dire che ci sono:
$(9!) * (3!) * 4$ modi diversi.
Ci sarebbe da fare una ultima riflessione:
E' giusto dividere il risultato ottenuto per 12 ?
Si ? Perchè ?
No ? Perchè ?
Lascio a te il commento finale.
"Umby":
Succede frequentemente. utenti che inseriscono domande, e poi non partecipano alla discussione.
E va be, peccato è bello confrontarsi.
Premettgo dicendo che io come problema iniziale ne avevoconsiderato un altro.
Ciao a tutti.
Nelle disposizioni di libri su scaffali ho capito il procedimento. Ovvero, se mi viene chiesto di disporre gruppi di libri di materie diverse in modo che le materie dei rispettivi libri restino raggruppate faccio moltiplicate per il numero dei gruppi al fattoriale. Ora devo estendere il procedimento ad uno scaffale che si chiude su se stesso, ad esempio uno circolare.
Io da questo avevo inteso "disporre i libri in maniera che quelli della stessa materia siano tutti vicini"
Quindi una cosa di questo tipo:
AAAMMMMMMMMM.
Infatti non avevo (ed ancora non ho) ben capito il nesso tra queste prime righe e la richiesta finale fatta nelprimo post da linda man (anche allaluce della spiegazione iniziale di linda man sulla disposizione in casodi libreria stesa).
La mia soluzione è questa:
$prod_(i=1)^na_i!\ (n-1)!\ sum_(i=1)^na_i$
La spiegazione che gli ho dato è questa:
la produttoria iniziale serve per mescolare i libri all'interno delle n materie;
a questo punto ragiono sulle materie che posso disporre i n! maniere (il discorso sarebbe qua concluso se la libreria fosse stesa).
Avendo la libreria circolare io ripartirei n! in questi eventi incompatibili: la prima materia è i per i=1,...,n.
Quindi ho:
la prima materia è 1 e le altre materie sono messe in (n-1)! maniere;
la prima materia è 2 e le altre materie sono messe in (n-1)! maniere;
...
la prima materia è n e le altre materie sono messe in (n-1)! maniere;
Ora per ognuna di queste trovare i casi e poi andare a sommare.
Prendendo la materia i come prima posso avere (tenedo presente la circolarità)
tutti all'inizio e zero alla fine $(a_i,0)$;
oppure $(a_i-1,1)$ perchè richiudendola rimarrebbero ordinati;
...
$(1,a_1-1)$.
Ovviamente non ho $(0,a_i)$ perchè questo caso è conteggiato in una materia iniziale diversa.
In definitiva ho $a_i$
Arrivo dunque a: $prod_(i=1)^na_i!\ (n-1)!\ a_i$
Facendolo per tutte le materie e sommando ottengo la soluzione.
E' anche interessante vedere che se chiamo $p=prod_(i=1)^na_i!\ n!$ i casi nella libreria estesa;
i casi nella circolare sono dati da $p\ (sum_(i=1)^na_i)/n$ ovvero moltiplicati il numeromedio di libri per materia;
ovviamente è maggiore.
Venendo al secondo punto:
Io avevo pensato questo:
essendo solo due materie possiamo semplificare il modello considerando i libri discriminati solo per materia;
in questa maniera abbiamo nove libri tipo 1 e tre libri tipo 0.
In quante maniere possiamo scegliere dove piazzare questi numeri? $((12),(3))$
Adesso se avessimo una libreria stesa ladisposizione (AAAMAAAMAAAM) è una, se la libreria è circolare sono 4 (quelli da te elencati).
Infine il dividere per 12.
No perchè? sel'alternanza deve essere 313131, no non mi viene proprio il motivo per cui farlo.
A te come è sorto questo dubbio?
Scusate ma sto preparando altri esami. Leggerò con calma e risponderò quando possibile. Grazie 
"DajeForte":
Infine il dividere per 12.
No perchè? sel'alternanza deve essere 313131, no non mi viene proprio il motivo per cui farlo.
A te come è sorto questo dubbio?
Chiamo i 9 libri di tipo Arte, con un 1-2-3-4-5-6-7-8-9
ed i 3 libri di tipo Matematica, con X-Y-Z.
Nel mio precedente intervento ho calcolato in quanti modi diversi posso ottenere la sequenza AAAMAAAMAAAM considerando uno scaffale circolare. Cosi' facendo ho dato anche un peso alla posizione del libro nello scaffale.
Se ad esempio ho la disposizione:
491Z285Y367X
ho conteggiato anche le sue 11 disposizioni "gemelle", quali
91Z285Y367X4
1Z285Y367X49
...
X491Z285Y367
Ogni disposizione, quindi, l'ho conteggiata 12 volte (facendola roteare per le 12 posizioni).
Volendo, potrei considerare le stesse una sola volta.
Ancora mi sfugge qualcosa. Magari mi sbaglio.
Io ho ragionato così:
immagina di stare in piedi dentro ad una libreria tonda; scegli un punto determinato a tuo piacimento; taglia la libreria in quel punto e stendila.
A questo punto faccio un parallelismo tra la libreria distesa e quella circolare.
A questo punto la distribuzione 313131 nella circolare si ha se e solo se nella distesa ho:
AAAMAAAMAAAM
AAMAAAMAAAMA
AMAAAMAAAMAA
MAAAMAAAMAAA
moltiplicati $9!3!$.
Ora se prendessi la tua notazione 491Z285Y367X
quando arrivi alla quinta ed hai 285Y367X491Z
questa è stata gia conteggiata tramite i due fattoriali
Io ho ragionato così:
immagina di stare in piedi dentro ad una libreria tonda; scegli un punto determinato a tuo piacimento; taglia la libreria in quel punto e stendila.
A questo punto faccio un parallelismo tra la libreria distesa e quella circolare.
A questo punto la distribuzione 313131 nella circolare si ha se e solo se nella distesa ho:
AAAMAAAMAAAM
AAMAAAMAAAMA
AMAAAMAAAMAA
MAAAMAAAMAAA
moltiplicati $9!3!$.
Ora se prendessi la tua notazione 491Z285Y367X
quando arrivi alla quinta ed hai 285Y367X491Z
questa è stata gia conteggiata tramite i due fattoriali
Prendiamo in esame inizialmente solo la dispozione del tipo: [AAAMAAAMAAAM]
Abbiamo detto che ci sono $(9!)*(3!)$ modi per disporre i nostri 12 libri.
Una di queste l'ho rappresentata in figura (vedi rigo 1)
Una altra di questa è presente in riga 2
ed ancora una terza in rigo 3
Sono 3 disposizioni che appartengono al nostro insieme $(9!)*(3!)$
Diciamo che sono diverse, ma cosa avviene quando leghiamo la testa e la coda insieme, e quindi le rendiamo circolari?
Se chiediamo al libro z "Cosa hai alla tua destra ? e Cosa hai alla tua sinistra?"
In tutti i 3 casi z ci rispondera' "9" e "1"
Ora se estendi il ragionamento per le altre disposizioni [AAMAAAMAAAMA] [AMAAAMAAAMAA] e [MAAAMAAAMAAA]
ne troverai altre 3 per ogni gruppo, per un totale di 12
In sintesi:
Se ci interessa la posizione dei libri nello scaffale (immaginiamo che le posizioni dello scaffale siano numerate) è giusto quello che abbiamo detto precedentemente, ovvero che ci sono
$(9!)*(3!)*4$ modi diversi
ma se immaginiamo lo scaffale nello spazio, senza alcun punto di riferimento, si potrebbe dire che:
$((9!)*(3!)*4)/12$
così facendo una sola disposizione che prima appariva 12 volte, verrà conteggiata una sola volta.
S.E.& O.
Abbiamo detto che ci sono $(9!)*(3!)$ modi per disporre i nostri 12 libri.
Una di queste l'ho rappresentata in figura (vedi rigo 1)
Una altra di questa è presente in riga 2
ed ancora una terza in rigo 3
Sono 3 disposizioni che appartengono al nostro insieme $(9!)*(3!)$
Diciamo che sono diverse, ma cosa avviene quando leghiamo la testa e la coda insieme, e quindi le rendiamo circolari?
Se chiediamo al libro z "Cosa hai alla tua destra ? e Cosa hai alla tua sinistra?"
In tutti i 3 casi z ci rispondera' "9" e "1"
Ora se estendi il ragionamento per le altre disposizioni [AAMAAAMAAAMA] [AMAAAMAAAMAA] e [MAAAMAAAMAAA]
ne troverai altre 3 per ogni gruppo, per un totale di 12
In sintesi:
Se ci interessa la posizione dei libri nello scaffale (immaginiamo che le posizioni dello scaffale siano numerate) è giusto quello che abbiamo detto precedentemente, ovvero che ci sono
$(9!)*(3!)*4$ modi diversi
ma se immaginiamo lo scaffale nello spazio, senza alcun punto di riferimento, si potrebbe dire che:
$((9!)*(3!)*4)/12$
così facendo una sola disposizione che prima appariva 12 volte, verrà conteggiata una sola volta.
S.E.& O.
Chiedo a Cenzo, se mi fa una simulazione. 
"Umby":
Chiedo a Cenzo, se mi fa una simulazione.
Ciao Umby,
questi problemi con "circolarità" mi fanno venire i giramenti di testa...
Direi che la maggiore difficoltà sta nel definire quali sono le disposizioni che possiamo effettivamente considerare "diverse", e quindi da contare una sola volta. Penso che possono esserci diverse interpretazioni, tutte valide a priori: occorre poi scegliere quella che risponde correttamente al problema posto.
Per questo mi sembra corretta la tua distinzione tra i due casi e i due diversi conteggi. Dipende da "se ci interessa la posizione dei libri nello scaffale" come hai scritto giustamente.
In questo vecchio post di dissonance è linkato un interessante testo (seppure molto datato): leggendolo alle pag 22-24 si riportano tre conteggi diversi (per problemi apparentemente simili) del modo di disporre 6 oggetti in modo circolare. Quale dei tre è corretto? Ognuno risponde ad un problema diverso: tutto sta a chiarire sin dal principio ciò che possiamo (o vogliamo) considerare diverso in relazione al particolare problema.
(consiglio la lettura di quelle 3 pagine: il terzo esempio con vista "dall'alto" o "dal basso" lo trovo sorprendente..).
Quindi direi che i conteggi possono essere diversi in base alle "specifiche" del problema.
E quanto invece alla probabilità ?
Direi (se non prendo abbagli) che la probabilità invece dovrebbe restare la stessa. Se mi attengo ad una certa interpretazione, conterò coerentemente sia i casi favorevoli che quelli possibili: il rapporto dovrebbe essere lo stesso.
Nel caso del problema di Linda man, se ho inteso correttamente il conto fatto qui da Dajeforte alla fine del post, gli risulta: $p=4/(((12),(3)))$
(ha considerato le sequenze ordinate sia tra i favorevoli che tra i possibili).
Il tuo primo conto da' luogo ad una probabilità $p=(9!*3!*4)/(12!)$
(ti trovi che gli eventi possibili sono $12!$ se consideriamo gli scaffali numerati ?)
Il tuo secondo conto da' luogo ad una probabilità $p=((9!*3!*4)/12)/(11!)$
(ti torna che stavolta i casi possibili sono $11!$ ?)
Quelle tre probabilità sono esattamente le stesse.
Aggiungo che condivido pienamente le perlplessità già espresse chiaramente da Dajeforte sul problema posto da Linda man.
Mi sembrava di avere inteso che i testi della stessa materia dovessero stare vicini, quindi pensavo a disposizioni del tipo [AAAAAAAAAMMM]. Non ho compreso che c'entra la disposizione [313131] col testo originale del problema (primo post).
Vabbè, credo che da un problema si è poi passati a discuterne un altro.
Per la simulazione: si può fare per stimare la probabilità (successi/prove simulate) ma non per contare i casi favorevoli.
Dato che le probabilità dovrebbero essere le stesse, non credo ne valga la pena. Tra l'altro questa mi sembra una simulazione alquanto impegnativa, sia perchè dovrei capire come attribuire i posti ai 12 libri (qual è la v.a. di riferimento) sia perchè poi occorre in qualche modo "discriminare" le disposizioni ordinate..
(naturalmente salvo errori)
@Umby: ora ho capito quello che vuoi dire. Bella osservazione.
Be si,come dice cenzo,il problema risiede sulle specifiche del problema: se la libreria ha anche un sistema orientato allora la discriminazione del posto risulta rilevante, se invece si discrimina una dozzina in base a che libro vi è a destra o a sinistra di ogni libro allora...
Per quanto riguarda le probabilità, anche qua come dice cenzo, rimangono uguali, questo sempre considerando che una volta fissata una caratteristica per determinare i casi favorevoli, la stessa caratteristica deve essere usata per i casi possibili (ci deve essere omogeneità tra numeratore e denominatore).
Mi troverei daccordo anche con l' $11!$ perchè fissato un libro (dovendo discriminare cosa ha a destra ed a sinistra) posso poi mettere 1 degli 11 libri a sinistra, 1 dei 10 a destra e così via.
Be si,come dice cenzo,il problema risiede sulle specifiche del problema: se la libreria ha anche un sistema orientato allora la discriminazione del posto risulta rilevante, se invece si discrimina una dozzina in base a che libro vi è a destra o a sinistra di ogni libro allora...
Per quanto riguarda le probabilità, anche qua come dice cenzo, rimangono uguali, questo sempre considerando che una volta fissata una caratteristica per determinare i casi favorevoli, la stessa caratteristica deve essere usata per i casi possibili (ci deve essere omogeneità tra numeratore e denominatore).
Mi troverei daccordo anche con l' $11!$ perchè fissato un libro (dovendo discriminare cosa ha a destra ed a sinistra) posso poi mettere 1 degli 11 libri a sinistra, 1 dei 10 a destra e così via.
"cenzo":
Quindi direi che i conteggi possono essere diversi in base alle "specifiche" del problema.
Giustissimo.
Infatti, inizialmente mi son posto il problema se dividere o meno per 12. (proprio perchè entrambe le soluzioni avevano "un senso")
"cenzo":
Per la simulazione: si può fare per stimare la probabilità (successi/prove simulate) ma non per contare i casi favorevoli.
Certo. La mia idea era proprio di generare random disposizioni di 12 elementi, e vedere quante erano del tipo desiderato (Esempio AAAMAAAMAAAM). Lo chiedevo perchè quando si parla di argomenti simili basta poco per commettere errori.
Grazie per aver accettato la mia proposta di intervenire.
"DajeForte":
@Umby: ora ho capito quello che vuoi dire. Bella osservazione.
"Umby":
Grazie per aver accettato la mia proposta di intervenire.
Prego, figurati! E' sempre un piacere partecipare a queste discussioni
"Umby":
La mia idea era proprio di generare random disposizioni di 12 elementi, e vedere quante erano del tipo desiderato (Esempio AAAMAAAMAAAM)
Mi son detto: proviamoci!
La prima idea era di generare tutte le possibili permutazioni $12!$ e contare quante soddisfano la struttura [3,1,3,1,3,1] circolare.
In genere facevo questa operazione con un foglio di calcolo, tuttavia è un'occasione per provare con R (potrebbe tornare utile in futuro..).
Ho trovato la libreria "gtools" che fa al caso, ma ho dovuto limitarmi al caso di 6 libri "A" e 2 libri "M", per intenderci [3,1,3,1], in quanto ho ricevuto un errore di out of memory nel tentativo di generare tutte le $12!$ permutazioni del problema originario.
Per farla breve, ci aspettiamo $6!*2!*4=5760$ casi favorevoli (per scaffale circolare) su $8!$ casi possibili. Codice e risultati:
In seconda battuta, per analizzare il problema originario [3,1,3,1,3,1] ho invece generato random delle permutazioni... come suggeriva Umby
Questo il risultato, che conferma il conto di Umby:
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