Dimostrazione formula MSE (errore quadratico medio)

[Expboy]

Detto l'errore quadratico medio $MSE[T](\vartheta)=E[[T-\tau(\vartheta)]^2]$ e detta distorsione $D[T](\vartheta)=\tau(\theta)-E[T]$ allora si ha:

$MSE[T](\vartheta)=var[T]+D[T]^2(\vartheta)

La dimostrazione che ho sui miei appunti è la seguente:

$MSE[T]=E[(T-\tau)^2]=E[[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]^2]=$ (sommo e sottraggo la stessa quantità $E[T]$).
$=E[(T-E[T])^2]-2E[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]+E[(E[T]-\tau)^2]=$ (svolgo il quadrato separando i valori attesi dei singoli addendi)
Ora viene il passaggio che non capisco:
$E[T]-\tau$ non dipende dalle $X_i$ e quindi è costante, allora: $E[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]=(E[T]-\tau)*(E[(T-E[T]))=cost * 0 = 0$ (so che se il termine di un valore atteso è costante allora il suo valore atteso è ancora la costante, ma non capisco il perchè faccia così e nemmeno perchè dica che il secondo fattore sia pari a 0).
poi scrive: $E[(E[T]-\tau)^2]=(E[T]-\tau)^2=D^2[T]$ (anche qui lo ha considerato costante).
Quindi dei tre addendi sviluppati dal quadrato rimangono il primo che è $E[(T-E[T])^2]$ cioè proprio $var[T]$, il secondo è pari a 0, e il terzo che è $D^2[T]$ quindi:

$MSE[T]=var[T]+D^2[T]$

Qualcuno mi sa dare una mano in quei due passaggi che mi son poco chiari??? Grazie!!

P.S.: Ho l'esame orale di probabilità e statistica domani

[itpareid]

per il primo
$E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0$

[Frasandro]

"Expboy":Detto l'errore quadratico medio $ MSE[T](\vartheta)=E[[T-\tau(\vartheta)]^2] $ e detta distorsione $ D[T](\vartheta)=\tau(\theta)-E[T] $ allora si ha:



$ MSE[T](\vartheta)=var[T]+D[T]^2(\vartheta)

La dimostrazione che ho sui miei appunti è la seguente: $MSE[T]=E[(T-\tau)^2]=E[[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]^2]=$ (sommo e sottraggo la stessa quantità $E[T]$ ). $=E[(T-E[T])^2]-2E[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]+E[(E[T]-\tau)^2]=$ (svolgo il quadrato separando i valori attesi dei singoli addendi)
Ora viene il passaggio che non capisco: $E[T]-\tau$ non dipende dalle $X_i$ e quindi è costante, allora: $E[(T-E[T])+(E[T]-\tau)]=(E[T]-\tau)*(E[(T-E[T]))=cost * 0 = 0$ (so che se il termine di un valore atteso è costante allora il suo valore atteso è ancora la costante, ma non capisco il perchè faccia così e nemmeno perchè dica che il secondo fattore sia pari a 0).
poi scrive: $E[(E[T]-\tau)^2]=(E[T]-\tau)^2=D^2[T]$ (anche qui lo ha considerato costante).
Quindi dei tre addendi sviluppati dal quadrato rimangono il primo che è $E[(T-E[T])^2]$ cioè proprio $var[T]$ , il secondo è pari a 0, e il terzo che è $D^2[T]$ quindi: $MSE[T]=var[T]+D^2[T]$



Qualcuno mi sa dare una mano in quei due passaggi che mi son poco chiari??? Grazie!!



P.S.: Ho l'esame orale di probabilità e statistica domani

ecco, ho trovato questo vecchio post ma non si legge bene ...