Dimostrazione disuguaglianza di Markov-passaggio non capito

[Sk_Anonymous]

Adotto il libro di Sandro Bellini "Teoria dei fenomeni aleatori", a pag. 87 è spiegata la disuguaglianza di Markov

Per una variabile casuale X non negativa e per ogni a \(\displaystyle >0 \) vale che
\(\displaystyle P(X \ge a) = \int\limits_a^{+\infty} f(x) \text{d} x \le \dfrac{1}{a} \int\limits_a^{+\infty} x \, f(x) \, \text{d} x \)

mi potete spiegare l'ultimo passagio? Perchè moltiplicando per x all'interno dell'integrale e dividendo per a quella quantità dovrebbe essere necessariamente più grande?

P.S. credo che f(x) sia la densità di probabilità di x

[fu^2]

beh tu stai integrando su $a\leq x\leq \infty$... dunque puoi vederla così:

$\int_x^{\infty} a f(x)dx =\int 1_{[a,\infty)}(x)a f(x)dx\leq \int 1_{[a,\infty)}(x)x f(x)dx=\int_x^{\infty} x f(x)dx $ in quanto tu lavori dove $x\geq a$.

[Sk_Anonymous]

scusa fu^2, non ho capito:

1) Io parto da \( \displaystyle \int\limits_a^{+\infty} f(x) \text{d} x \) non da \( \displaystyle \int_{x}^{\infty} a \, f(x) dx \)

2) con la notazione \( 1_{[a,\infty)} \) cosa intendi?

[fu^2]

1) si lo so, ma, ho moltiplicato per $a$ il tutto, penso risulti più chiaro il procedimento...

2) funzione indicatrice dell'intervallo $[a,\infty)$ e con $\int$ ho inteso $\int_{\mathbb{R}}$.

[retrocomputer]

Per una variabile casuale X non negativa e per ogni a \(\displaystyle >0 \) vale che
\(\displaystyle P(X \ge a) = \int\limits_a^{+\infty} f(x) \text{d} x \le \dfrac{1}{a} \int\limits_a^{+\infty} x \, f(x) \, \text{d} x \)

Forse la cosa si può vedere anche osservando che, nelle condizioni del teorema, $\frac{xf(x)}{a}-f(x)\geq 0$?

[Sk_Anonymous]

Ho capito entrambi, grazie