Dimostrazione densita' congiunta di due variabili aleatorie

[dark7771]

Salve, vorrei dimostrare che, se la densita' congiunta di due variabili aleatorie \(\displaystyle X \) e\(\displaystyle Y \) e' il prodotto di un termine che dipende solo da \(\displaystyle x \) e uno che dipende solo da \(\displaystyle y \), allora \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) sono indipendenti.

Inizio in questo modo:
Sapendo che se 2 variabili aleatorie sono indipendenti sse la probabilita' congiunta e' uguale al prodotto delle loro probabilita' marginali devo dimostrare che
\(\displaystyle f_{XY}(x,y)=g(x)h(y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)\)

La probabilita' marginale di \(\displaystyle X \) e' data da:
\(\displaystyle f_{X}(x) = \int g(x)h(y) dy = g(x) \int h(y) dy \)

La probabilita' marginale di \(\displaystyle Y \) invece e' data da:
\(\displaystyle f_{Y}(y) =\int g(x)h(y) dy = h(y) \int g(x) dx \)

Ora facendo il prodotto:
\(\displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y) = g(x)h(y) \int h(y) dy \int g(x) dx \)

Ho un \(\displaystyle \int h(y) dy \int g(x) dx \) in piu', dove sbaglio?

[cooper1]

Ciao, si tratta di un riscalamento. Dato che la densità congiunta è appunto una densità, vale che
\[
1 = \int_{\mathbb{R}^2}g(x)h(y) dxdy = \int_{\mathbb{R}}g(x)dx\int_{\mathbb{R}}h(y)dy
\]
Ora chiama $\int_{\mathbb{R}}g(x)dx = a$. di conseguenza $\int_{\mathbb{R}}h(y)dy = 1/a$. se ora ribattezzi le funzioni di partenza come $g(x) = g(x)/a, h(y) = ah(y)$.

Ora calcola $P(X

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[dark7771]

"cooper":Ciao, si tratta di un riscalamento. Dato che la densità congiunta è appunto una densità, vale che
\[
1 = \int_{\mathbb{R}^2}g(x)h(y) dxdy = \int_{\mathbb{R}}g(x)dx\int_{\mathbb{R}}h(y)dy
\]
Ora chiama $\int_{\mathbb{R}}g(x)dx = a$. di conseguenza $\int_{\mathbb{R}}h(y)dy = 1/a$. se ora ribattezzi le funzioni di partenza come $g(x) = g(x)/a, h(y) = ah(y)$.

Ora calcola $P(X

Non ho capito il ribattezzamento in quel modo e non ho capito cosa risolvo calcolando la ripartizione congiunta.

Pero' guardando il tuo ragionamento e riprendendo il mio

"dark777":
Ho un \(\displaystyle \int h(y) dy \int g(x) dx \) in piu', dove sbaglio?

Posso concludere dicendo che per l'ipotesi ho che:
\(\displaystyle f_{XY}(x,y)=g(x)h(y)\)

Per la definizione di funzione di densita' (congiunta o non) ho che
\(\displaystyle \int f_{Z}(z) = 1 \)
quindi

\(\displaystyle \int h(y) dy \int g(x) dx = \int \int g(x) h(y) dxdy = \int \int f_{XY}(x,y) dxdy = 1 \)

Ti sembra corretto?

[cooper1]

cosa non è chiaro esattamente? ho semplicemente "creato" due funzioni nuove, ma invece di dare loro nomi diversi, le ho richiamate ancora $g(x),h(y)$. solo che non sono quelle di partenza, ma due nuove funzioni.

"dark777": non ho capito cosa risolvo calcolando la ripartizione congiunta.

due v.a. sono indipendenti se $P(X < x, Y < y) = P(X
il tuo conto mi sembra giusto, ma non sono sicuro si possa usare il fatto che la congiunta si spezza nel prodotto delle marginali perché secondo me è praticamente quello che stai cercando di dimostrare. per cui evito di usare quello e passo a cercare di dimostrare la definizione di indipendenza