Dimostrazione della Disuguaglianza di Chebyshev

[af95]

Carissimi,

anzitutto porgo i miei auguri di buon Natale (anche se passato) e per un nuovo anno prospero e sereno.

Avrei da porre una domanda sulla dimostrazione della Disuguaglianza di Chebyshev. In particolare, quella svolta a lezione risulta essere alquanto "anomala" rispetto alle altre che si trovano in giro per la rete o comunque su qualsiasi libro di testo che tratti di cenni di probabilità.

La dimostrazione inizia col considerare una v.a.
\begin{equation}
Y=\begin{cases}
\eta^2 , |x-\mu|>\eta \\ \\0, |x-\mu|\leq\eta
\end{cases}
\end{equation}

da cui chiaramente si deduce che \begin{equation}|x-\mu|^2\leq Y \end{equation}

Calcolando l'aspettazione di ambomembri, ottengo che
\begin{equation}E[(x-\eta)^2]=Var[X]\geq E[Y] \end{equation}
Ora arriva il punto cruciale, che proprio non mi è chiaro (anche se sono convinto essere nulla di astruso, ma solo qualche dettaglio che al momento non riesco proprio a concepire):

Nella dimostrazione, in questo punto, si recita "è chiaro che \begin{equation}E[Y]= \eta^2 P(|x-\mu|>\eta)\end{equation}"
Ecco, questo "è chiaro" per me non è per nulla chiaro.

Anticipo che non sono state trattate le disuguaglianze di Markov, che, a quanto ho letto in giro per la rete, mi faciliterebbero l'impresa.

Grazie a quanti risponderanno e ancora auguri.

AF

[Lo_zio_Tom]

"af95":
La dimostrazione inizia col considerare una v.a.
\begin{equation}
Y=\begin{cases}
\eta^2 , |x-\mu|>\eta \\ \\0, |x-\mu|\leq\eta
\end{cases}
\end{equation}

Ora arriva il punto cruciale, che proprio non mi è chiaro (anche se sono convinto essere nulla di astruso, ma solo qualche dettaglio che al momento non riesco proprio a concepire):

Nella dimostrazione, in questo punto, si recita "è chiaro che \begin{equation}E[Y]= \eta^2 P(|x-\mu|>\eta)\end{equation}"
Ecco, questo "è chiaro" per me non è per nulla chiaro.

dunque...le disuguaglianze di Markov non le avete fatte, ma la media aritmetica di una variabile discreta sì: $E(X)=sum_(i)x_(i)p(x_(i))$


quindi per la tua variabile $Y$ avremo che:

$E(Y)=eta^2\cdotP{|x-mu|>eta}+0\cdotP{|x-mu|<=eta}=eta^2\cdotP{|x-mu|>eta}$

[af95]

Perfetto, avevo totalmente ignorato il fatto che fosse discreta, mi stavo concentrando su tutte le possibili vie per il calcolo dell'aspettazione... come ho detto era sicuramente un dettaglio stupido che dopo tante ore di studio diventa invisibile

Grazie!

--

N.B. Avevo letto anche la risposta precedente alla modifica.. ok che era una domanda scema, però così mi mortifichi