Dimensione dell'unione di più insiemi-

[superfox1]

Buongiorno a tutti,
vi propongo il seguente esercizio:
ad ogni esperimento estraggo, in modo uniforme, g numeri distinti da un insieme di N. Dunque dopo n esperimenti avrò estratto gli insiemi $G_0, G_1, ..., G_{n-1}$ di numeri, con $|G_0| = |G_1| = ... = |G_{n-1}| = g$. Mi chiedo qual è la dimensione media dell'insieme unione $G_0 \cup G_1 \cup ... \cup G_{n-1}$ ? Ed in secondo luogo quanti esperimenti dovrò svolgere per ottenere in media almeno $\bar{m}$ numeri nell'insieme unione?

//edit

vi rigrazio ed un saluto
- sfox

edit: corretto unione non l'intersezione, scusate per il rincoglionimento

[superfox1]

Procedimento: partendo per gradi, denoto l'insieme unione $U_n = G_0 \cup G_1 \cup ... \cup G_n$. Chiaramente $|U_0|=|G_0|=g$. Allora considero $|U_1| = |U_0 \cup G_1| = |U_0| + |G_1| - |U_0 \cap G_1| = 2g - |G_0 \cap G_1|$. Il punto critico è stabilire l'interserzione tra G_0 e G_1. Se N >> g, allora ciascun elemento di G_1 può essere già presente in G_0 con prob g/N. Dato che vi sono g elementi in G_1, allora il totale dell'inserzione è dato da g^2/N. In particolare $|U_n \cap G_{n+1}| = g \cdot (|U_n|) / N$, è corretta questa affermazione??

Esplicitando la ricorsione:
$|U_0| = g$
$|U_1| = 2g - g^2/N$
$|U_2| = 3g - 3g^2/N + g^3 / N^2$
$|U_3| = 4g - 6g^2/N + 5 g^3 / N^2 - g^4/N^3$
....
$|U_n| = g \cdot (n+1) - g^2 \cdot {n*(n+1)}/2 + g^3( 1/2 \cdot ( n * ((n-1))/2)^2 + (n(n-1))/2) + ...$

che è un po' una schifezza... è corretta? oppure ci sono metodi meno "rozzi" per arrivare a qualcosa di più trattabile??

vi rigranzio e buona giornata
- sfox