Differenziale stocastico
Ciao a tutti, spero possiate aiutarmi a risolvere questo esercizio.
Si calcoli il differenziale stocastico $ d(W^4t) $ . Si calcoli poi $ E[W^4t] $ .
Il differenziale stocastico l'ho calcolato : $ d(W^4t)=6W^2tdt+4W^3tdWt $ . Come faccio a calcolare il valore atteso? Come passo alla forma integrale?
Si calcoli il differenziale stocastico $ d(W^4t) $ . Si calcoli poi $ E[W^4t] $ .
Il differenziale stocastico l'ho calcolato : $ d(W^4t)=6W^2tdt+4W^3tdWt $ . Come faccio a calcolare il valore atteso? Come passo alla forma integrale?
Risposte
Ciao.
La forma integrale è esattamente $W_t^4=W_0 + 4 \int_0^t W_s^3 dW_s + 6 \int_0^t W_s^2 ds$, dove $W_0=0$ per definizione di BM.
Calcolando l'expectation ottieni quindi $\mathbb{E}[W_t^4]= 4 \mathbb{E}[\int_0^t W_s^3 dW_s] + 6 \int_0^t \mathbb{E}[W_s^2] ds$.
Il primo addendo è evidentemente 0. Sapendo che $\mathbb{E}[W_t^2]=Var(W_t^2)=t$,
$6 \int_0^t W_s^2 ds = 6 \int_0^t s ds = 3 t^2$
La forma integrale è esattamente $W_t^4=W_0 + 4 \int_0^t W_s^3 dW_s + 6 \int_0^t W_s^2 ds$, dove $W_0=0$ per definizione di BM.
Calcolando l'expectation ottieni quindi $\mathbb{E}[W_t^4]= 4 \mathbb{E}[\int_0^t W_s^3 dW_s] + 6 \int_0^t \mathbb{E}[W_s^2] ds$.
Il primo addendo è evidentemente 0. Sapendo che $\mathbb{E}[W_t^2]=Var(W_t^2)=t$,
$6 \int_0^t W_s^2 ds = 6 \int_0^t s ds = 3 t^2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo