Differenza tra dipendenza e correlazione

[carlo961]

Qual è la differenza tra correlazione e dipendenza e chi implica chi?
So che la s indipendenza implica l incorrelazione , ma il contrario non vale. Il prof in classe ha detto che la correlazione implica la s dipendenza, ma se questo è vero non andrebbe in contraddizione con la prima affermazione? Qual è quindi la proprietà più forte?
Grazie mille a chiunque mi aiuti

[cooper1]

Non so bene cosa vogliano dire le lettere s,l, comunque l'indipendenza implica l'incorrelazione.

Proof:
se due v.a. sono indipendenti allora il valore atteso del prodotto si fattorizza e quindi la covarianza si annulla.

se neghi quell'affermazioni hai quindi che se due v.a. sono correlate allora sono dipendenti. non c'è nessuna contraddizione (prova a pensare a cosa vuol dire logicamente negare la seguente: $A \Rightarrow B$)

L'implicazione contraria è in generale falsa. Diventa però vera nel caso di v.a. normali.

[carlo961]

Grazie mille, mi hai aiutato moltissimo.
Per s intendevo statisticamente. Quindi la proprietà più forte tra le 2 è la correlazione visto che implica la dipendenza?
Inoltre ti trovi che la correlazione dice se c'è un legame lineare tra le v.a. e se è 0 allora significa che la covarianza è nulla?
La dipendenza invece non saprei come definirla a parole

[cooper1]

"carlo96":Quindi la proprietà più forte tra le 2 è la correlazione visto che implica la dipendenza?

non so cosa intendi con forte. potrebbe essere una motivazione accettabile.

"carlo96":Inoltre ti trovi che la correlazione dice se c'è un legame lineare tra le v.a. e se è 0 allora significa che la covarianza è nulla?

in realtà l'affermazione è ribaltata: due v.a. si dicono incorrelate se la covarianza è nulla. anche perché per calcolare il coefficiente di correlazione ti serve la covarianza. comunque l'idea è quella.

"carlo96":La dipendenza invece non saprei come definirla a parole

due variabili sono indipendenti se l'informazione di una delle due non aggiunge niente/non influisce sull'altra. per questa intuizione può essere utile pensare alla probabilità condizionata secondo cui
\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A), \quad P(B)\ne 0
\]
dove l'ultima uguaglianza segue dall'indipendenza. quindi la conoscenza di B non modifica la probabilità di A (B non influenza A)

[carlo961]

Va bene
Credo di aver capito
Grazie mille per tutto l aiuto
Il mio fondamentale problema è l insicurezza, cioè non sono mai sicuro di aver capito bene le cose. Essendo che comq stiamo parlando di variabili aleatorie credo sarebbe meglio dire che la pdf congiunta è uguale al prodotto delle marginali se sono indipendenti

[cooper1]

"carlo96": Essendo che comq stiamo parlando di variabili aleatorie credo sarebbe meglio dire che la pdf congiunta è uguale al prodotto delle marginali se sono indipendenti

sono definizioni equivalenti. basta considerare come eventi gli eventi $\{ X \le x \}, { Y \le y \}$ e si ha che la probabilità si fattorizza.
oppure anche più generale usando le sigma-algebre generate: due v.a. sono indipendenti se lo sono le sigma algebre da loro generate.