Differenza di 2 variabili Gaussiane
Sempre sullo stesso esercizio:
$X~N(100,16)$ il valore di un'azienda e $Y~N(100,25)$ il valore di un'altra azienda.
Siano $X$ e $Y$ tra loro indipendenti.
Ogni volta che in chiusura di giornata $X-Y>=10$ un manager riceve un bonus di $1000€$.
Calcolare approssimativamente la probabilità che in 30 giorni lavorativi abbia ricevuto almeno $5000€$ di bonus.
Ho pensato di procedere così:
Poichè: $Z=X-Y => Z~N(0,41)$
$P(Z>=10)=P(Z(0,1)>=10/sqrt{41})=1- \phi(1.56)=1-0.9406=0.0594~0.06$
Introduco una nuova variabile $W~B(30,0.06)$
Quindi:
$P_30(W>=5)=1-[P_30(W=0)-P_30(W=1)-P_30(W=2)-P_30(W=3)-P_30(W=4)]$
Giusto?
$X~N(100,16)$ il valore di un'azienda e $Y~N(100,25)$ il valore di un'altra azienda.
Siano $X$ e $Y$ tra loro indipendenti.
Ogni volta che in chiusura di giornata $X-Y>=10$ un manager riceve un bonus di $1000€$.
Calcolare approssimativamente la probabilità che in 30 giorni lavorativi abbia ricevuto almeno $5000€$ di bonus.
Ho pensato di procedere così:
Poichè: $Z=X-Y => Z~N(0,41)$
$P(Z>=10)=P(Z(0,1)>=10/sqrt{41})=1- \phi(1.56)=1-0.9406=0.0594~0.06$
Introduco una nuova variabile $W~B(30,0.06)$
Quindi:
$P_30(W>=5)=1-[P_30(W=0)-P_30(W=1)-P_30(W=2)-P_30(W=3)-P_30(W=4)]$
Giusto?
Risposte
Esercizio diverso, diverso topic 
Tralasciando questo orribile refuso (o togli la quadra oppure ci metti dentro tutti $+$ , ovviamente).
Lo svolgimento è [QUASI] impeccabile!
Purtroppo la traccia chiede espressamente
In altri termini, sebbene il tuo svolgimento sia più che corretto, così facendo calcoli la probabilità esatta dell'evento richiesto e non un'approssimazione[nota]per capire bene l'esercizio sarebbe interessante risolverlo in entrambi i modi, esatto ed approssimato. Purtroppo con un valore di $p$ così basso non si arriverà mai ad una buona approssimazione...prova a fare $X-Y>=2$ invece che 10...così otterrai anche un'ottima approssimazione del valore esatto[/nota] $rarr$ rispondi ad una domanda diversa da quella posta nella traccia e ciò non è bello, sei d'accordo?
Per calcolare l'approssimazione richiesta occorre usare il TLC, con un'opportuna correzione per continuità...
Oppure potremmo modificarlo così:
così sono tutti contenti, incluso il prof che avrà la sua soluzione approssimata.
bravo
Tralasciando questo orribile refuso (o togli la quadra oppure ci metti dentro tutti $+$ , ovviamente).
"bellrodo":
$P_30(W>=5)=1-[P_30(W=0)-P_30(W=1)-P_30(W=2)-P_30(W=3)-P_30(W=4)]$
Lo svolgimento è [QUASI] impeccabile!
Purtroppo la traccia chiede espressamente
"bellrodo":
Calcolare approssimativamente la probabilità che ecc ecc
In altri termini, sebbene il tuo svolgimento sia più che corretto, così facendo calcoli la probabilità esatta dell'evento richiesto e non un'approssimazione[nota]per capire bene l'esercizio sarebbe interessante risolverlo in entrambi i modi, esatto ed approssimato. Purtroppo con un valore di $p$ così basso non si arriverà mai ad una buona approssimazione...prova a fare $X-Y>=2$ invece che 10...così otterrai anche un'ottima approssimazione del valore esatto[/nota] $rarr$ rispondi ad una domanda diversa da quella posta nella traccia e ciò non è bello, sei d'accordo?
Per calcolare l'approssimazione richiesta occorre usare il TLC, con un'opportuna correzione per continuità...
Oppure potremmo modificarlo così:
Calcolare la probabilità che su 365 giorni di attività il manager abbia ricevuto almeno 25.000 euro di bonus
così sono tutti contenti, incluso il prof che avrà la sua soluzione approssimata.
bravo
"tommik":
Tralasciando questo orribile refuso (o togli la quadra oppure ci metti dentro tutti $ + $ , ovviamente).
[quote="bellrodo"]
$ P_30(W>=5)=1-[P_30(W=0)-P_30(W=1)-P_30(W=2)-P_30(W=3)-P_30(W=4)] $
[/quote]
Errore di distrazione
Comunque, penso di aver capito!
Provo a risolvere, con entrambi i metodi, nel caso $X-Y>=2$ invece che $X-Y>=10$
$ P(Z>=2)=P(Z(0,1)>=2/sqrt{41})=1- \phi(0.31)=1-0.6217=0.3783~0.38 $
Introduco una nuova variabile $W~B(30,0.38)$
$P(W>=5)=1-[P(W=0)+P(W=1)+P(W=2)+P(W=3)+P(W=4)]=0.9948$
(conti fatti con wolframalpha perchè troppo lunghi, ora capisco perchè chiedeva un approssimazione
)Utilizzando il TLC è tutto più immediato:
$W~B(30,0.38)$
$E(W)=30*0.38=11.4$
$Var(W)=30*0.38*0.62=7.07$
$P(W>=5)=P((W-11.4)/sqrt{7.07}>=(5-11)/sqrt{7.07})=1- \phi (-2.4)= \phi (2.4)=0.9918$
Giusto?
hai sbagliato ad applicare la correzione per continuità; si fa così:
$P(W>=5) rarr P(W>=4,5)=P(phi>(4,5-11,4)/sqrt(7.07))~~99.53%$
Come vedi l'approssimazione è eccellente....
Per approssimare bene la binomiale con la gaussiana occorre che $np>=5$. Nel tuo esercizio avevi $np =1,8$... approssimazione pessima
[size=150]EDIT[/size]
Ragionando meglio sull'esercizio, mi è venuto in mente che la strada più corretta è un'altra.
per calcolare $P(W>=5)$ con $np$ basso si deve usare l'approssimazione con la Poisson (legge degli eventi rari), non con la gaussiana
imposto il parametro della poissoniana $theta=30*0.06=1.8$ e calcolo
$P(W=5)+P(W=6)=(e^(-1.8)*1.8^5)/(5!)+(e^(-1.8)*1.8^6)/(6!)=0.026+0.008~~ 3.4%$
dato che i valori di probabilità per $W=7,8,9,...$ sono evidentemente tutti tendenti a zero. Tieni presente che il valore di probabilità esatto è $~~ 3.2%$
$P(W>=5) rarr P(W>=4,5)=P(phi>(4,5-11,4)/sqrt(7.07))~~99.53%$
Come vedi l'approssimazione è eccellente....
Per approssimare bene la binomiale con la gaussiana occorre che $np>=5$. Nel tuo esercizio avevi $np =1,8$... approssimazione pessima
[size=150]EDIT[/size]
Ragionando meglio sull'esercizio, mi è venuto in mente che la strada più corretta è un'altra.
per calcolare $P(W>=5)$ con $np$ basso si deve usare l'approssimazione con la Poisson (legge degli eventi rari), non con la gaussiana
imposto il parametro della poissoniana $theta=30*0.06=1.8$ e calcolo
$P(W=5)+P(W=6)=(e^(-1.8)*1.8^5)/(5!)+(e^(-1.8)*1.8^6)/(6!)=0.026+0.008~~ 3.4%$
dato che i valori di probabilità per $W=7,8,9,...$ sono evidentemente tutti tendenti a zero. Tieni presente che il valore di probabilità esatto è $~~ 3.2%$
Perfetto, chiarissimo come sempre
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