Determinazione Indipendenza (v.a. Poisson)

[LS005]

Salve ragazzi sto risolvendo questo esercizio:

Siano X una v.a. di Poisson P (1) e Y = min{X, 2}.
Determinare la funzione di probabilit ́a di Y 
Stabilire se gli eventi A = {Y = 2} e B = {X ≤ 3} sono indipendenti.

Ho determinato la funzione di probabilità ora sto provando l'indipendenza. Per adesso ho fatto così:
Per essere indipendenti deve valere $ P(AnnB) = P(A)*P(B) $ .
Determino il primo membro:
$P(AnnB) = P({Y=2}nn{X<=3}) = P({X=2}nn{X<=3}) =$
$= P({X=2}nn({X=0}uu{X=1}uu{X=2}uu{X=3})) =$
$= P(({X=2} nn {X=0})uu({X=2} nn {X=1})uu({X=2} nn {X=2})uu({X=2} nn {X=3})) =$
$= P(X=2) = 1/(2*e) $ (In quanto le intersezioni tranne ${X=2}nn{X=2}$ sono vuote, per definizione della funzione di probabilità).
(Sperando che sia corretto) Ho problemi sul membro a destra.
$P(A) * P(B) = P(X=2) * P(X<=3) = P(X=2) * [P(X=0) uu P(X=1) uu P(X=2) uu P(X=3)} $
Ora mi sono bloccato qui non riesco a procedere anche perchè so dalla definizione dell'unione di probabilità che $P(AuuB) = P(A)+P(B)+P(AnnB)$ ma non so come applicarla in questo caso. Potreste darmi una mano? Grazie

[retrocomputer]

"LS005":
$P(AnnB) = P({Y=2}nn{X<=3}) = P({X=2}nn{X<=3}) =$

Non deve essere ${X\geq 2}nn{X\leq 3}$?