Determinare parametro di una funzione densità di probabilità
Salve a tutti. Ho la seguente funzione:
$ f(x)=ae^(-abs(x-2)/2) $
devo determinare il valore del parametro reale a in modo tale che la funzione rappresenti una densità di probabilità di una variabile continua X.
So che per dimostrare che sia una funzione probabilità l'integrale definito con ± ∞ come estremi deve essere uguale ad 1. A questo punto ho trovato l'integrale
$ ((x-2)*(2-2*e^(-abs(x-2)/2)))/abs(x-2) $
(a l'ho portata fuori per la linearità)
quindi divido gli estremi in +∞ , 0 e 0 , -∞ e calcolo i relativi integrali impropri. Qui mi blocco, i limiti non sembrano facili. La mia idea è giusta o c'è qualcosa che sbaglio? Nel primo caso, come verrebbero i limiti degli integrali impropri? Ho provato a calcolarli anche con diversi calcolatori online ma nulla che potesse portare ad una soluzione paramatrica reale. Cordiali saluti e grazie in anticipo
$ f(x)=ae^(-abs(x-2)/2) $
devo determinare il valore del parametro reale a in modo tale che la funzione rappresenti una densità di probabilità di una variabile continua X.
So che per dimostrare che sia una funzione probabilità l'integrale definito con ± ∞ come estremi deve essere uguale ad 1. A questo punto ho trovato l'integrale
$ ((x-2)*(2-2*e^(-abs(x-2)/2)))/abs(x-2) $
(a l'ho portata fuori per la linearità)
quindi divido gli estremi in +∞ , 0 e 0 , -∞ e calcolo i relativi integrali impropri. Qui mi blocco, i limiti non sembrano facili. La mia idea è giusta o c'è qualcosa che sbaglio? Nel primo caso, come verrebbero i limiti degli integrali impropri? Ho provato a calcolarli anche con diversi calcolatori online ma nulla che potesse portare ad una soluzione paramatrica reale. Cordiali saluti e grazie in anticipo
Risposte
I limiti sono immediati.
Sarebbe bene ripassassi un po' di Analisi I prima di metterti a fare questi contarielli.
P.S.: Non c'è nemmeno bisogno di svolgere tutto il calcolo: infatti, la fuzione $f$ è simmetrica rispetto alla retta di equazione $x=2$, ergo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = 2 \int_2^{+\infty} f(x)\ \text{d} x
\]
(dimostralo) e nell'ultimo integrale non è presente nessun valore assoluto.
Sarebbe bene ripassassi un po' di Analisi I prima di metterti a fare questi contarielli.
P.S.: Non c'è nemmeno bisogno di svolgere tutto il calcolo: infatti, la fuzione $f$ è simmetrica rispetto alla retta di equazione $x=2$, ergo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = 2 \int_2^{+\infty} f(x)\ \text{d} x
\]
(dimostralo) e nell'ultimo integrale non è presente nessun valore assoluto.
Non devo calcolare l'integrale definito della funzione data sapendo che eguaglia 1? Ringrazio anche gugo82, ma in che modo ciò mi aiuta a trovare il valore di a? Scusate ragazzi, sono davvero confuso. Grazie per ogni suggerimento vogliate darmi. Saluti
"LorenzoSan":
in che modo ciò mi aiuta a trovare il valore di $a$?
Come detto, hai:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = 2\int_2^{+\infty} f(x)\ \text{d} x = 2a\underbrace{\int_2^{+\infty} e^{\frac{2 - x}{2}}\ \text{d} x}_{=:I} = 2Ia\; ,
\]
dunque $a$ lo determini risolvendo l'equazione $2Ia = 1$.
Ti ringrazio moltissimo, dovrebbe portare $-1/8$ (non ho la soluzione purtroppo). Grazie di nuovo, saluti a tutti
No scusa me ne so sono accorto ora, è $1/4$, eh i segni 
Grazie ancora a tutti!
Grazie ancora a tutti!
che il valore della costante venga $1/4$ lo si può vedere anche senza fare alcun conto...basta conoscere le distribuzioni.
In particolare, la Laplace.
La costante è infatti $1/(2b)=1/4$
In particolare, la Laplace.
La costante è infatti $1/(2b)=1/4$
Non lo sapevo, molto interessante, grazie
"arnett":
Gugo ti sei perso un meno all'esponente
Corretto.
Grazie.
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