Densità marginali: un piccolo dubbio

[lordb]

Ciao ragazzi,
supponiamo di avere una coppia di variabili aleatorie $(X,Y)$ su di un semplicemente connesso $D$ [per semplicità] di $RR^2$. Supponiamo inoltre che $f(x,y)={(f text{ su D}),(0 text{ altrove}):}$

Sappiamo che:

$f_x(x)=int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dy$

$f_y(y)=int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dx$

Ora ho trovato scritto su libri di testo cose del tipo:

$f_x(x)=int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dy=int_(D)f(x,y)dy$

$f_y(y)=int_(-oo)^(+oo)f(x,y)dx=int_Df(x,y)dx$

Che vuol dire? Mi sembra una simbologia piuttosto bizzarra e non riesco a capirne il senso.

Grazie in anticipo

[nessuno.nobody]

Se la funzione in spazi diversi da D vale 0, direi che l'integrale di 0 fa 0.
In sostanza quella scrittura sta ad indicare il fatto che gli integrali da -inf all'estrmo inferiore di D è nullo. Così come l'integrale tra l'estremo superiore di D e +inf.
Credo..

[retrocomputer]

Mah, probabilmente si può intuire il senso della notazione, però secondo me è proprio sbagliata... Dove l'hai vista?

[retrocomputer]

Sì, il senso l'ho eventualmente capito, ma proprio non mi va giù un integrale di una variabile reale su un insieme di $\mathbb{R}^2$

[lordb]

Grazie a tutti per le risposte:

@retrocomputer se non sbaglio in in un libro di Ross.

Il problema è appunto che $D sub RR^2$ e personalmente vedere un'integrale (di quel tipo) dipendente da un parametro fatto su un sottoinsieme di $RR^2$ è qualcosa che non mi convince proprio.

[lordb]

Allora forse nel Weiss .... bho non ricordo.
Comunque me l'ero segnato su un foglietto proprio perchè mi aveva lasciato stupefatto.

Comunque direi che se siamo d'accordo sul fatto che la notazione sia poco sensata direi che sono a posto, grazie a tutti!

[retrocomputer]

Sì, stavo proprio ora sfogliando il Ross di probabilità e ho visto anch'io le notazioni (giuste) segnalate da Sergio. Ho visto che usa anche la notazione tipo $\int_{x^2+y^2\leq r^2}f(x,y)dy$ che però non è quella con $D$, visto che $x^2+y^2\leq r^2$ indica evidentemente un intervallo della $y$ in funzione della $x$, e questo va bene

[lordb]

Ok!