Densità marginali di un vettore aleatorio uniformemente distribuito su un triangolo.
Ciao a tutti ragazzi, avrei alcuni problemi nel risolvere questo esercizio che riguarda: Il calcolo delle densità marginali, il calcolo dell'indice di correlazione e la verifica dell'indipendenza delle due variabili aleatorie.
Sostanzialmente quello che mi crea problemi è il primo punto; per lo meno in parte, in particolare non riesco a calcolare la seconda marginale (Ossia la $f_2(y)$). Una volta calcolata quest'ultima il tutto verrebbe liscio:
Si consideri il vettore aleatorio $(X,Y)$ uniformemente distribuito sul triangolo $T:={(x,y): abs(x)+abs(y)<=1,x>=0}$.
Si calcoli l'indice di correlazione $rho(X,Y)$ e si dica se le due variabili aleatorie sono indipendenti.
Chiaramente l'area del Triangolo risulta essere unitaria e, pertanto la funzione densità congiunta diventa:
$f(x,y)={(1,if (x,y)in T),(0, if (x,y) notin T):}$
Calcolo la prima marginale mediante l'integrale:
$\int_{0}^{x_0} int_{x-1}^{1-x} 1 dsdy$ da cui ottengo che la prima marginale sarà $f_1(x)=2-2x$.
Nel momento in cui vado a calcolare la seconda marginale dovrei calcolare prima la funzione di ripartizione marginale e, successivamente, farne la derivata rispetto a $y$. Ossia considero:
$\int_{-1}^{y_0} int_{-infty}^{+infty} f(x,y) dxdy$. In tal caso, non so perché, ho difficoltà nel sostituire gli estremi di integrazione corretti. Mi sapreste dare una mano?
Grazie a tutti.
Sostanzialmente quello che mi crea problemi è il primo punto; per lo meno in parte, in particolare non riesco a calcolare la seconda marginale (Ossia la $f_2(y)$). Una volta calcolata quest'ultima il tutto verrebbe liscio:
Si consideri il vettore aleatorio $(X,Y)$ uniformemente distribuito sul triangolo $T:={(x,y): abs(x)+abs(y)<=1,x>=0}$.
Si calcoli l'indice di correlazione $rho(X,Y)$ e si dica se le due variabili aleatorie sono indipendenti.
Chiaramente l'area del Triangolo risulta essere unitaria e, pertanto la funzione densità congiunta diventa:
$f(x,y)={(1,if (x,y)in T),(0, if (x,y) notin T):}$
Calcolo la prima marginale mediante l'integrale:
$\int_{0}^{x_0} int_{x-1}^{1-x} 1 dsdy$ da cui ottengo che la prima marginale sarà $f_1(x)=2-2x$.
Nel momento in cui vado a calcolare la seconda marginale dovrei calcolare prima la funzione di ripartizione marginale e, successivamente, farne la derivata rispetto a $y$. Ossia considero:
$\int_{-1}^{y_0} int_{-infty}^{+infty} f(x,y) dxdy$. In tal caso, non so perché, ho difficoltà nel sostituire gli estremi di integrazione corretti. Mi sapreste dare una mano?
Grazie a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo