Densità marginali di tre variabili aleatorie
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Dato il vettore aleatorio (X,Y,Z) distribuito uniformemente sulla sfera di raggio 1, calcolare la distribuzione di Z.
Riesco a calcolare che $ f(x,y,z)= 3/(4pi) $ se $ x^2+y^2+z^2<1 $ e 0 altrove.
Ora considerando la formula delle marginali di due variabili aleatorie vado a scrivere che:
$ p(z)=int int_(x^2+y^2+z^2<1) f(x,y,z)dx dy $
ma arrivato a questo punto non riesco a trovare gli estremi tra cui integrare.
Ringrazio chi mi può essere d'aiuto
Dato il vettore aleatorio (X,Y,Z) distribuito uniformemente sulla sfera di raggio 1, calcolare la distribuzione di Z.
Riesco a calcolare che $ f(x,y,z)= 3/(4pi) $ se $ x^2+y^2+z^2<1 $ e 0 altrove.
Ora considerando la formula delle marginali di due variabili aleatorie vado a scrivere che:
$ p(z)=int int_(x^2+y^2+z^2<1) f(x,y,z)dx dy $
ma arrivato a questo punto non riesco a trovare gli estremi tra cui integrare.
Ringrazio chi mi può essere d'aiuto
Risposte
Le variabili sono dipendenti tra loro,mentre la sfera è centrata nell'origine.
Per trovare la $ f(x,y,z) $ ho imposto la relazione $ int int int_(x^2+y^2+z^2<1)C dx dy dz=1 $
trovando quindi che C = 1 fratto il risultato dell'integrale che sarebbe il volume della sfera.
Per trovare la $ f(x,y,z) $ ho imposto la relazione $ int int int_(x^2+y^2+z^2<1)C dx dy dz=1 $
trovando quindi che C = 1 fratto il risultato dell'integrale che sarebbe il volume della sfera.
si può risolvere così:
$x^2+y^2+z^2<1$
è come dire $x^2+y^2<1-z^2$
quindi si può integrare nel cerchio centrato nell'origine e di raggio $sqrt(1-z^2)$ con $z in (-1;1)$:
$x^2+y^2+z^2<1$
è come dire $x^2+y^2<1-z^2$
quindi si può integrare nel cerchio centrato nell'origine e di raggio $sqrt(1-z^2)$ con $z in (-1;1)$:
$f(z)=3/(4pi)int_(-sqrt(1-z^2))^(sqrt(1-z^2))dxint_(-sqrt(1-x^2-z^2))^(sqrt(1-x^2-z^2))dy$
Innanzitutto grazie per la risposta. Più o meno avevo ottenuto gli stessi estremi di integrazione, fatta eccezione per l'estremo inferiore dell'integrale rispetto ad x. Il problema è che l'integrale rispetto ad y è semplicissimo e da come risultato $ 2sqrt(1-x^2-z^2) $
Il problema è come integrare questo termine rispetto ad x, in quanto ho provato ad effettuare il calcolo con wolfram ed ottengo una soluzione quasi impossibile da gestire in quanto a mano non credo si possa risolvere. A questo punto non so se si dovrebbe fare qualche considerazione diversa sugli estremi su cui integrare anche se le considerazione da te fatte ritengo siano più che giuste
Il problema è come integrare questo termine rispetto ad x, in quanto ho provato ad effettuare il calcolo con wolfram ed ottengo una soluzione quasi impossibile da gestire in quanto a mano non credo si possa risolvere. A questo punto non so se si dovrebbe fare qualche considerazione diversa sugli estremi su cui integrare anche se le considerazione da te fatte ritengo siano più che giuste
ma guarda che integrare sta roba è facilissimo eh.....si fa per parti o per sostituzione trigonometrica.....ora non ho voglia ma è un integrale facilissimo
cioè non dirmi che non sai integrare
$intsqrt(a-x^2)dx$
perché allora è il caso che ripassi un po'......
$intsqrt(1-x^2)dx$
poni $x=sent$
$dx=cost dt$
e l'integrale diventa
$intcos^2tdt$
nel tuo caso hai qualche costante che disturba....ma tutto qui.....
oppure lascialo così....tanto la soluzione è quella...il problema non è più statistico ma di analisi.
cioè non dirmi che non sai integrare
$intsqrt(a-x^2)dx$
perché allora è il caso che ripassi un po'......
$intsqrt(1-x^2)dx$
poni $x=sent$
$dx=cost dt$
e l'integrale diventa
$intcos^2tdt$
nel tuo caso hai qualche costante che disturba....ma tutto qui.....
oppure lascialo così....tanto la soluzione è quella...il problema non è più statistico ma di analisi.
L'integrale del tuo esempio si è abbastanza semplice. La presenza del termine z però da un bel pò dif astidio.
Svolgendolo su wofram ottengo come risultato
$ 2intsqrt(-x^2-z^2+1)dx= 2sqrt(-x^2-z^2+1)-(z^2-1)tant^-1(x/sqrt(-x^2-z^2+1)) $
e non credo che facilmente ottenibile manualmente ( o forse mi sbaglio)
Svolgendolo su wofram ottengo come risultato
$ 2intsqrt(-x^2-z^2+1)dx= 2sqrt(-x^2-z^2+1)-(z^2-1)tant^-1(x/sqrt(-x^2-z^2+1)) $
e non credo che facilmente ottenibile manualmente ( o forse mi sbaglio)
ti sbagli. si fa senza problemi e la costante è quasi indifferente, basta trovare la sostituzione giusta.
guarda:
$intsqrt((1-z^2)-x^2)dx$
pongo:
$x=sqrt(1-z^2)sent$
$dx=sqrt(1-z^2)cost dt$
e l'integrale diventa
$(1-z^2)intcos^2t dt$
....saprai risolver l'integrale di coseno al quadrato.....eccheccaXXo
guarda:
$intsqrt((1-z^2)-x^2)dx$
pongo:
$x=sqrt(1-z^2)sent$
$dx=sqrt(1-z^2)cost dt$
e l'integrale diventa
$(1-z^2)intcos^2t dt$
....saprai risolver l'integrale di coseno al quadrato.....eccheccaXXo
Credo che forse convenga passare alle coordinate cilindriche, ora scrivo i calcoli possibili
Se impongo
$ { ( x=rhocost ),( y=rhosent ),( z=z ):} $
potrei facilmente ottenere dalla relazione $ x^2+y^2<1-z^2 $ che $ rho $ varia tra $ 0
Purtroppo devo calcolare l'integrale in quanto poi l'esercizio non sarebbe finito qua,in quanto chiede in seguito di calcolare la probabilità rispetto a z se si trova o meno vicino al centro. Il problema principale però è trovare la densità di z
$ { ( x=rhocost ),( y=rhosent ),( z=z ):} $
potrei facilmente ottenere dalla relazione $ x^2+y^2<1-z^2 $ che $ rho $ varia tra $ 0
Purtroppo devo calcolare l'integrale in quanto poi l'esercizio non sarebbe finito qua,in quanto chiede in seguito di calcolare la probabilità rispetto a z se si trova o meno vicino al centro. Il problema principale però è trovare la densità di z
sì così funziona anche meglio....ho anche editato il messaggio precedente in quanto avevo sbagliato il raggio...avevo messo raggio $(1-z^2)$ invece ovviamente è raggio $sqrt(1-z^2)$
comunque di per sé è risolto....il resto sono solo calcoli....che devi fare tu uah uah
comunque di per sé è risolto....il resto sono solo calcoli....che devi fare tu uah uah
"tommik":
ti sbagli. si fa senza problemi e la costante è quasi indifferente, basta trovare la sostituzione giusta.
guarda:
$intsqrt((1-z^2)-x^2)dx$
pongo:
$x=sqrt(1-z^2)sent$
$dx=sqrt(1-z^2)cost dt$
e l'integrale diventa
$(1-z^2)^(3/2) intcos^2t dt$
....saprai risolver l'integrale di coseno al quadrato.....eccheccaXXo
Si integrare coseno al quadrato non è un problema. Con quella sostituzione è molto più semplice. Ho sbagliato a fidarmi di quell'applicazione. Ti ringrazio ancora e scusa per il disturbo
figurati...ma in coordiante polari (come hai detto tu) è ancora meglio!
..e nella mia ci ho messo pure un errore (purtroppo non dovrei guardare queste cose mentre lavoro )
l'integrale verrebbe
$(1-z^2)intcos^2tdt$
dai posta la soluzione completa!
..e nella mia ci ho messo pure un errore (purtroppo non dovrei guardare queste cose mentre lavoro )
l'integrale verrebbe
$(1-z^2)intcos^2tdt$
dai posta la soluzione completa!
Aahahah alla fine ho ottenuto persino 2 metodi di risoluzione. I calcoli non sono un problema per nessuno dei 2 procedimenti in quanto molto semplici. Grazie ancora
Con le coordinate polari ottento l'integrale:
$ 3/(4pi)int_(0)^(2pi) dtint_(0)^(sqrt(1-z^2))rhodrho=3/(4pi)2pi(1-z^2)/2=3/4(1-z^2) $
Ho fatto con le coordinate polari in quanto credo che siano ancora più semplici i calcoli
Gli errori di calcolo sono l'ultimo problema, con un pò di attenzione vanno via, l'importante è capire il procedimento
Con le coordinate polari ottento l'integrale:
$ 3/(4pi)int_(0)^(2pi) dtint_(0)^(sqrt(1-z^2))rhodrho=3/(4pi)2pi(1-z^2)/2=3/4(1-z^2) $
Ho fatto con le coordinate polari in quanto credo che siano ancora più semplici i calcoli
Gli errori di calcolo sono l'ultimo problema, con un pò di attenzione vanno via, l'importante è capire il procedimento
sì in polari viene davvero semplice
ben fatto!.
Comunque anche nell'altro modo è quasi immediato
ben fatto!.
Comunque anche nell'altro modo è quasi immediato
$f(z)=3/(4pi)int_(-sqrt(1-z^2))^(sqrt(1-z^2))dxint_(-sqrt(1-x^2-z^2))^(sqrt(1-x^2-z^2))dy=...=3/(4pi)(1-z^2)[t +sentcost]_(-pi/2)^(pi/2)=3/4 (1-z^2)I_((-1;1))(z)$
Grazie
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