Densità marginale
Salve! Ho il seguente esercizio:
Sia (X;U) un vettore aleatorio tale che la legge marginale di U è uniforme su (0; 1), ossia U
ha densità $ f_{U}(u) = I(0;1)(u) $, e la densità condizionale di X dato U è
$ f_{X|U}(x|u) =1/(2u)I(-u;u)(x) $
Determinare la densità di X.
So che l'esercizio di per sè è semplice.
Ho calcolato la densità congiunta applicando il teorema di Bayes, ma non so se è giusto perchè quando poi calcolo la marginale di X ottengo il log(u) valutato su (0,1) per cui ho un infinito che non so come studiare..
grazie
Sia (X;U) un vettore aleatorio tale che la legge marginale di U è uniforme su (0; 1), ossia U
ha densità $ f_{U}(u) = I(0;1)(u) $, e la densità condizionale di X dato U è
$ f_{X|U}(x|u) =1/(2u)I(-u;u)(x) $
Determinare la densità di X.
So che l'esercizio di per sè è semplice.
Ho calcolato la densità congiunta applicando il teorema di Bayes, ma non so se è giusto perchè quando poi calcolo la marginale di X ottengo il log(u) valutato su (0,1) per cui ho un infinito che non so come studiare..
grazie
Risposte
Con $F_(XU)(xu)$ intendi la densità congiunta vero? Io ho fatto
$f_(X,U)(x,u)=f_(X|U)(x|u)*f_(U)(u)=...1/2u$
con le indicatrici, e poi
$f_(X)(x)=int_(0)^(1)f_(X,U)(x,u)du$
e qui mi blocco
Il testo l'ho copiato direttamente dalla traccia d'esame
$f_(X,U)(x,u)=f_(X|U)(x|u)*f_(U)(u)=...1/2u$
con le indicatrici, e poi
$f_(X)(x)=int_(0)^(1)f_(X,U)(x,u)du$
e qui mi blocco
Il testo l'ho copiato direttamente dalla traccia d'esame
la densità condizionata che proponi è evidentemente sbagliata
$f(x|u)=1/2 u$ con $-u
basta fare una prova per accorgertene.....prendi ad esempio $u=1/2$ e ti viene $f(x|u=1/2)=1/4 I_((-1/2;1/2))(x)$ che non è una densità....
$f(x|u)=1/2 u$ con $-u
basta fare una prova per accorgertene.....prendi ad esempio $u=1/2$ e ti viene $f(x|u=1/2)=1/4 I_((-1/2;1/2))(x)$ che non è una densità....
si..scusa..hai ragione..ho messo la parentesi al posto sbagliato..ho aggiustato il testo
sto cercando di pensare come fare..ma non mi viene niente 
sai che
$f(x,u)=1/(2u)$ (dato che la marginale u=1) sul dominio $D={(x,u) in R^2:-u
graficamente:
ora non ti rimane che integrare u su tutto il dominio ed hai finito; integrando u la marginale risultante ovviamente sarà in funzione di x, che è proprio ciò che ti serve. Tu invece facendo $int_(0)^(1)f(x,u)du$ hai integrato su tutto il rettangolo...e quindi ti diverge.
$f(x,u)=1/(2u)$ (dato che la marginale u=1) sul dominio $D={(x,u) in R^2:-u
graficamente:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
ora non ti rimane che integrare u su tutto il dominio ed hai finito; integrando u la marginale risultante ovviamente sarà in funzione di x, che è proprio ciò che ti serve. Tu invece facendo $int_(0)^(1)f(x,u)du$ hai integrato su tutto il rettangolo...e quindi ti diverge.
Quindi, siccome la funzione è pari, ho $2*int_(x)^(1)f(x,u)du=...=-log(x)$
e $-u
giusto?
E grazie mille
no, ti ho anche messo la soluzione (in spoiler nel messaggio precedente)
$f_(X)(x)=(-log|x|)/2$
$x in (-1;0) uu (0;1)$
x assume anche valori negativi....
non dico di fidarti di me....ma come vedi anche secondo Wolfram il risultato è giusto
$f_(X)(x)=(-log|x|)/2$
$x in (-1;0) uu (0;1)$
x assume anche valori negativi....
non dico di fidarti di me....ma come vedi anche secondo Wolfram il risultato è giusto
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
non mi si apre lo spoiler..
comunque grazie..non potrei non fidarmi
comunque grazie..non potrei non fidarmi
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