Densità gaussiane bivariate

[dovah01]

2) quest'altro esercizio invece mi chiede di determinare le distribuzioni di $ (Y_1,Y_2) $ e $ (Z_1,Z_2) $ ove $ (Y_1,Y_2)=(X_1+X_2,2X_1+X_2) $ e $ (Z_1,Z_2)=(aX_1,bX_1+cX_2) $ con $ a,b,c>0 $ e $ X_1 \ e \ X_2 $ variabili aleatorie indipendenti con legge gaussiana di media $ 0 $ e varianza $ 1 $ .
Siccome la determinazione della distribuzione di $ (Z_1,Z_2) $ penso sia simile, come metodo di procedimento, alla determinazione della distribuzione di $ (Y_1,Y_2) $, vorrei chiedervi se qualcuno sa come procedere, perché non mi è mai capitato di calcolare leggi di vettore aleatorio in questo modo. In genere avevo cose del tipo $ (X_1,X_1+X_2) $ in cui basta esprimere la seconda condizione in funzione della prima, poi avendo sia $ X_1 $ sia $ X_2 $ legge assolutamente continua, allora potevo trovare la funzione di ripartizione di $ (X_1,X_1+X_2) $ con un integrale doppio, nel quale il primo aveva come estremi $ -infty $ e $ x_1 $ ad esempio ed il secondo $ -infty $ e $ t-x_1 $, ma qui come devo procedere?
Premetto anche che ho provato a guardare su internet o qualche manuale, ma non ho trovato alcun esempio simile al mio e non ne esco :/
Scusate per il super messaggio, spero possiate rispondermi in tempo, grazie mille

[Lo_zio_Tom]

questo è semplicissimo ed è sulle applicazioni delle proprietà della gaussiana.

1) Una combinazioni lineare di gaussiane indipendenti è ancora gaussiana di media $mu=sum_i a_i E(x_i)$ e varianza $sigma^2=sum_i a_i^2V(x_i)$

2) Il vettore aleatorio è ancora gaussiano (bivariato) e la dipendenza fra le variabili è catturata tutta dalla correlazione.

In questo modello infatti Indipendenza $harr$ incorrelazione.

In definitiva ti basta calcolare le covarianze fra le variabili ed utilizzare il modello gaussiano bivariato per dire come si distribuisce. Puoi dare sia l'espressione analitica della distribuzione oppure semplicemente dire che è una normale bivariata. Al posto della media avrai un vettore delle medie, al posto della varianza una matrice di varianze e covarianze ed in più il coefficiente di correlazione $rho$ che indica l'eventuale dipendenza.
Se $rho=0$ dal modello vedrai che l'espressione della PDF bivariata si riduce al prodotto delle due marginali e ciò a dimostrazione che incorrelazione implica indipendenza (cosa che non accade in alcun altro modello statistico noto)

Prendiamo ad esempio il primo caso:

$(Y_1 ; Y_2)$

$Y_1=X_1+X_2~N(0;2)$

$Y_2=2X_1+X_2~N(0;5)$

Quindi ti basta calcolare la covarianza fra le due variabili, calcolabile così:

$Cov[Y_1;Y_2]=E[(X_1+X_2)(2X_1+X_2)]-E(X_1+X_2)E(2X_1+X_2)=...=3$

e di facilissima risoluzione data l'indipendenza delle $X_i$ e le proprietà di media e varianza che dovresti conoscere...

In definitiva il vettore $(Y_1 ; Y_ 2)$ si distribuisce come una gaussiana bivariata con:

vettore delle medie $mu=[ ( 0 ),( 0 ) ] $

matrice delle covarianze $Sigma=[ ( 2 , 3 ),( 3 , 5 ) ] $

$rho=(cov)/(sigma_(Y_1)sigma_(Y_2))=3/sqrt(10)$

Come ti ho detto puoi terminarlo così oppure dare l'espressione analitica di $f_(Y_1 Y_2)(y_1;y_2)$ come descritto nei seguenti esempi

questo

oppure, davvero bello, questo

Ti consiglio vivamente di guardare gli esercizi che ti ho proposto perché sono utilissimi anche se un po' più articolati di quello che hai postato tu...se invece li reputi al di là del tuo programma allora lascia stare...

saluti

[dovah01]

Sei stato gentilissimo e ho capito tutto, la spiegazione è limpida e non so davvero come ringraziarti! Ora guardo anche gli esempi che mi hai consigliato, anche se sono più complessi, certamente ne andrà del mio bagaglio culturale! Grazie di cuore