Densità di un prodotto di variabili discrete
Ciao a tutti.
Facendo un semplice esercizio mi è sorto un dubbio e vorrei poterlo risolvere.
L'esercizio è questo (inserisco il link perché l'immagine è molto grande): http://i.imgur.com/EFyGW6h.png
Allora, per quanto riguarda il punto 1) ho completato la tabella come segue: http://i.imgur.com/Z31igAj.png e penso sia corretta.
Per quanto riguarda il punto 2), si può dire che le variabili non sono indipendenti perché le loro densità congiunte non sono uguali al prodotto delle rispettive densità marginali.
Ora il punto 3) mi chiede di calcolare la densità di $Z=XY$. E qua sorge il mio dubbio: come fare? Mi basta moltiplicare le densità marginali di $X$ e $Y$ tra loro? E quindi il valore atteso di $Z$ sarebbe il semplice prodotto dei valori attesi di $X$ e $Y$?
Scusatemi se la domanda è banale. E grazie a chi avrà voglia e tempo per rispondermi.
Facendo un semplice esercizio mi è sorto un dubbio e vorrei poterlo risolvere.
L'esercizio è questo (inserisco il link perché l'immagine è molto grande): http://i.imgur.com/EFyGW6h.png
Allora, per quanto riguarda il punto 1) ho completato la tabella come segue: http://i.imgur.com/Z31igAj.png e penso sia corretta.
Per quanto riguarda il punto 2), si può dire che le variabili non sono indipendenti perché le loro densità congiunte non sono uguali al prodotto delle rispettive densità marginali.
Ora il punto 3) mi chiede di calcolare la densità di $Z=XY$. E qua sorge il mio dubbio: come fare? Mi basta moltiplicare le densità marginali di $X$ e $Y$ tra loro? E quindi il valore atteso di $Z$ sarebbe il semplice prodotto dei valori attesi di $X$ e $Y$?
Scusatemi se la domanda è banale. E grazie a chi avrà voglia e tempo per rispondermi.
Risposte
una volta calcolata la distribuzione congiunta (ovvero una volta completata la tabella)
basta fare tutti i prodotti dei valori delle marginali e sommare fra loro le probabilità dei valori comuni del supporto
in pratica ottieni
$XY-={{: ( -2 , 0 , 1 , 2 ),( 2/12 , 7/12 , 2/12 , 1/12 ) :}$
tutto qui
basta fare tutti i prodotti dei valori delle marginali e sommare fra loro le probabilità dei valori comuni del supporto
in pratica ottieni
$XY-={{: ( -2 , 0 , 1 , 2 ),( 2/12 , 7/12 , 2/12 , 1/12 ) :}$
tutto qui
Grazie mille per la risposta.
Spiegazione molto concisa ma altrettanto chiara. Ti ringrazio molto.
Avendo poi tali valori è banale andare a calcolare il valore atteso della variabile $Z=XY$. Perfetto!
Spiegazione molto concisa ma altrettanto chiara. Ti ringrazio molto.
Avendo poi tali valori è banale andare a calcolare il valore atteso della variabile $Z=XY$. Perfetto!
"Giobbo89":
Grazie mille per la risposta.
Spiegazione molto concisa ma altrettanto chiara. Ti ringrazio molto.
Avendo poi tali valori è banale andare a calcolare il valore atteso della variabile $Z=XY$. Perfetto!
parti dal presupposto che una volta nota la distribuzione congiunta (la tabella, nel caso discreto) puoi calcolare qualunque cosa ti venga chiesta relativamente alle variabili o ad una loro funzione.....
Grazie mille! Me lo ricorderò
Riuso un attimo questa discussione per una semplice domanda legata all'argomento della discussione appunto, per cui vorrei una conferma.
Se invece di $Z=XY$, avessi $Z=3X-2Y$, mi basterebbe seguire il medesimo ragionamento?
Nel senso, per calcolare i possibili valori di $Z$ dovrei moltiplicare per 3 quelli di $X$ e per 2 quelli di $Y$ e poi fare la differenza?
Mentre per le probabilità mi basterebbe sommare quelle dei valori comuni del supporto?
Se invece di $Z=XY$, avessi $Z=3X-2Y$, mi basterebbe seguire il medesimo ragionamento?
Nel senso, per calcolare i possibili valori di $Z$ dovrei moltiplicare per 3 quelli di $X$ e per 2 quelli di $Y$ e poi fare la differenza?
Mentre per le probabilità mi basterebbe sommare quelle dei valori comuni del supporto?
YESSSS
1) calcoli il nuovo supporto della variabile
2) associ ad ogni valore del supporto la sua probabilità....che avendo già le $p(X,Y)$ è banale....
la difficoltà dell'esercizio sta nel calcolare la tabella....non è sempre così semplice come in questo caso....qui praticamente te la dava già fatta....di solito devi fare dei ragionamenti....
1) calcoli il nuovo supporto della variabile
2) associ ad ogni valore del supporto la sua probabilità....che avendo già le $p(X,Y)$ è banale....
la difficoltà dell'esercizio sta nel calcolare la tabella....non è sempre così semplice come in questo caso....qui praticamente te la dava già fatta....di solito devi fare dei ragionamenti....
"tommik":
YESSSS
1) calcoli il nuovo supporto della variabile
2) associ ad ogni valore del supporto la sua probabilità....che avendo già le $p(X,Y)$ è banale....
Perfetto.
Avevo più che altro dubbi sulle probabilità da assegnare ai vari valori (che magari dovessero essere moltiplicate anche loro per lo scalare, ma in effetti non avrebbe proprio senso).
Grazie come sempre tommik
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