Densità di probabilità di una legge normale N(0,1)

[akinators1919]

Ciao a tutti,
vi volevo porre una domanda sul seguente esercizio di probabilità svolto dalla mia professoressa, di cui però non riesco a capire un passaggio.

Nell'esercizio ho la seguente densità della v.a. X:
$ f(x) = 1/(x*sqrt(2*pi))*e^(ln^2(x)/2 ) $ se $x > 0$

$ f(x) = 0 $ altrimenti

Ora mi chiede di calcolare la densità di $ Y = ln(X) $ e mi chiede se è una densità nota.

Il risultato che mi esce (che coincide con quello della soluzione data dalla professoressa) è:

$ f_Y(t) = 1/(sqrt(2*pi))*e^((t^2)/2) $

Nella soluzione viene scritto che questa è la densità di una legge Normale $N(0,1)$ ma io non riesco bene a capire il perchè sia così (o se magari ci sia un errore), perchè la definizione di densità di una legge normale dovrebbe essere:

$ f(x) = 1/(sqrt(2*pi))*e^(-(x^2)/2) $

quindi con un segno meno all'esponenziale. Inoltre se provo a svolgere l'integrale sul dominio di $f_Y(t)$ trovo che l'integrale diverge a infinito, quando invece, per definizione di densità, mi aspetterei che l'integrale sul suo dominio mi desse 1.
Qualcuno sa come risolvere questo mio dubbio? Grazie in anticipo.

[ingres]

Se quella in origine è una densità di probabilità, anche per lei dovrebbe risultare

$int_0^(+infty) f(x)dx = 1$

ma in realtà non mi sembra neanche convergere.
Sicuro del testo?

[akinators1919]

Si, ti confermo che quello è il testo dell’esercizio (allego foto). Il problema potrebbe quindi essere che la funzione di partenza non è in realtà una densità, è quindi non lo sarà di conseguenza nemmeno $f_y$ ?

[Bokonon]

Metti un meno all'esponente della f(x)

[akinators1919]

Si, così facendo torna tutto. Evidentemente è un errore nel testo. Grazie mille per le risposte.