Densità di probabilità di un numero aleatorio
Salve a tutti, sono già due o tre volte che scrivo qui e ho sempre ricevuto commenti o aiuti utilissimi, quindi volevo proporvi questo esercizio che non riesco a risolvere:
"Un numero aleatorio Z è distribuito uniformemente sulla parte della circonferenza
unitaria contenuta nel primo quadrante. Determinare la densità di probabilità del numero
aleatorio $ X = e^Z $ "
Innanzitutto, ho calcolato il valore K per cui fz è una densità: mediante integrazione di R da 0 a 1 e di $ Theta $ da 0 a $ pi /2 $ ottengo K = $ 4/pi $
Rappresento graficamente X: $ P(X <= z) $ da cui $ P(e^Z <= z) $ e quindi $ P(Z <= log(z)) $
Il problema è questo: Z è la porzione della circonferenza unitaria nel primo quadrante, ma il grafico di log(z) (qualunque sia z) sta sempre sotto la figura descritta da Z, o quantomeno la tocca solo nel punto (1,0). Quindi, dal canto mio direi che tale probabilità è 0 mentre la soluzione dice che fx è $ 2/(pi x) $ per x tra 1 e $ e^(pi /2) $
Come si deve ragionare? Grazie mille per il vostro aiuto
"Un numero aleatorio Z è distribuito uniformemente sulla parte della circonferenza
unitaria contenuta nel primo quadrante. Determinare la densità di probabilità del numero
aleatorio $ X = e^Z $ "
Innanzitutto, ho calcolato il valore K per cui fz è una densità: mediante integrazione di R da 0 a 1 e di $ Theta $ da 0 a $ pi /2 $ ottengo K = $ 4/pi $
Rappresento graficamente X: $ P(X <= z) $ da cui $ P(e^Z <= z) $ e quindi $ P(Z <= log(z)) $
Il problema è questo: Z è la porzione della circonferenza unitaria nel primo quadrante, ma il grafico di log(z) (qualunque sia z) sta sempre sotto la figura descritta da Z, o quantomeno la tocca solo nel punto (1,0). Quindi, dal canto mio direi che tale probabilità è 0 mentre la soluzione dice che fx è $ 2/(pi x) $ per x tra 1 e $ e^(pi /2) $
Come si deve ragionare? Grazie mille per il vostro aiuto
Risposte
in questo caso siamo di fronte ad una trasformazione monotona di una variabile univariata e quindi basta usare la formula che trovi sul libro bella e pronta (ma che si può, anzi dovresti, dimostrare in un paio di passaggi algebrici elementari)
che porge subito il risultato
Per calcolare $f_Z$ non servono molti conti: essendo la densità uniforme definita come $1/(b-a)$ basta calcolare quanto è lunga la tua parte di circonferenza ($(2pi)/4=pi/2$) e farne il reciproco, ottenendo subito:
$f_(Z)(z)=2/pi I_((0;pi/2))(z)$
$X=g(Z)=e^z$
e quindi $g^(-1)=logx$
il dominio di x si ricava subito da quello di $z in (0;pi/2)$ sostituendo tali valori nella funzione di trasformazione.
ciao
$f_(X)(x)=f_(Z)(g^(-1)(x))|d/(dx) g^(-1)(x)|$
che porge subito il risultato
$f_(X)(x)=2/pi* 1/x I_((1;e^(pi/2)))(x)$
Per calcolare $f_Z$ non servono molti conti: essendo la densità uniforme definita come $1/(b-a)$ basta calcolare quanto è lunga la tua parte di circonferenza ($(2pi)/4=pi/2$) e farne il reciproco, ottenendo subito:
$f_(Z)(z)=2/pi I_((0;pi/2))(z)$
$X=g(Z)=e^z$
e quindi $g^(-1)=logx$
il dominio di x si ricava subito da quello di $z in (0;pi/2)$ sostituendo tali valori nella funzione di trasformazione.
ciao
Questa volta ho alcune domande da porti: innanzitutto, la legge da te utilizzata (e che mi hai anche consigliato in una domanda precedente) non la conosco, ha un nome preciso? Non la trovo neanche sul libro!
Secondo punto,ho un dubbio su come determinare la funzione di densità della X: sapendo che la densità è uniformemente distribuita in una porzione della circonferenza goniometrica, tutti "i punti" della X fanno parte di questa porzione, e quindi sarebbe r2 $ pi $ che , diviso 4, fornisce "la lunghezza" della porzione di circonferenza. Il mio ragionamento è corretto? Così almeno capisco come trattare altri casi simili.
Terza domanda: $ g^(-1) $ corrisponde sempre alla funzione inversa giusto?
Ultima domanda: come fai a determinare il dominio della z in modo così rapido? Penso che il dominio dovrebbe essere r*0 e $ rpi/2 $, tu hai semplicemente sostituito r=1 giusto?
So che alcune domande possono sembrare anche un po' ovvie, però devo cercare di capire il più possibile riguardo queste variabili aleatorie congiunte, mercoledì ho questo esame che rappresenta l'ultimo della mia prima sessione estiva, vorrei andare bene! Ti ringrazio molto del tuo aiuto e della tua pazienza
Secondo punto,ho un dubbio su come determinare la funzione di densità della X: sapendo che la densità è uniformemente distribuita in una porzione della circonferenza goniometrica, tutti "i punti" della X fanno parte di questa porzione, e quindi sarebbe r2 $ pi $ che , diviso 4, fornisce "la lunghezza" della porzione di circonferenza. Il mio ragionamento è corretto? Così almeno capisco come trattare altri casi simili.
Terza domanda: $ g^(-1) $ corrisponde sempre alla funzione inversa giusto?
Ultima domanda: come fai a determinare il dominio della z in modo così rapido? Penso che il dominio dovrebbe essere r*0 e $ rpi/2 $, tu hai semplicemente sostituito r=1 giusto?
So che alcune domande possono sembrare anche un po' ovvie, però devo cercare di capire il più possibile riguardo queste variabili aleatorie congiunte, mercoledì ho questo esame che rappresenta l'ultimo della mia prima sessione estiva, vorrei andare bene! Ti ringrazio molto del tuo aiuto e della tua pazienza
La legge in questione la trovi subito derivando la funzione di ripartizione e sapendo come si deriva una funzione integrale. Ti assicuro che la trovi su qualunque testo....e potrebbe essere un buon esercizio provare a dimostrarlo (è davvero molto semplice)
Il resto mi pare tutto ok
Come trovare il dominio?
$Z in (0;pi/2) $
$x=e^z $
Basta sostituire
$X in (e^0;e^(pi/2)) $
Il resto mi pare tutto ok
Come trovare il dominio?
$Z in (0;pi/2) $
$x=e^z $
Basta sostituire
$X in (e^0;e^(pi/2)) $
Io sto usando "Calcolo delle probabilità" di Sheldon Ross, mi dispiace ma non riesco proprio a trovare questa regola... Comunque d'accordo, se le mie supposizioni erano corrette non ho altre domande da farti, grazie infinite tommik, fenomenale come al solito!
Anzi va te lo faccio io in 2 passaggi...uso x e Y perché mi viene più comodo, anche perché sono col cellulare e sto facendo i conti a mente
$F (y)=P (Y
(dato che la funzione $g (x) $ è crescente).
Quindi derivando ottieni
$f_Y (y )=f_X (logy)*1/y= f_X (g^(-1 ))d/(dy) g^(-1) $
Che è esattamente la formula cercata
Prova tu ora con una $g (x) $ decrescente e vedi che succede.
Ps: in questa stanza ho risolto e commentato centinaia e centinaia di esercizi sulle trasformazioni di variabile, diversi anche molto interessanti...basta usare la funzione "cerca"
$F (y)=P (Y
(dato che la funzione $g (x) $ è crescente).
Quindi derivando ottieni
$f_Y (y )=f_X (logy)*1/y= f_X (g^(-1 ))d/(dy) g^(-1) $
Che è esattamente la formula cercata
Prova tu ora con una $g (x) $ decrescente e vedi che succede.
Ps: in questa stanza ho risolto e commentato centinaia e centinaia di esercizi sulle trasformazioni di variabile, diversi anche molto interessanti...basta usare la funzione "cerca"
Ok, ho scelto $ (1/2)^(x) $ :
$ P((1/2)^(x)log_(1/2)(y)) $ e quindi $ 1- F_x(log_(1/2)(y)) $
Derivando ottengo $ -f_x(log_(1/2)(y))1/(y log(1/2) $ che sarebbe $ -f_x(g^-1)d/dyg^-1 $
E' corretto?
$ P((1/2)^(x)
Derivando ottengo $ -f_x(log_(1/2)(y))1/(y log(1/2) $ che sarebbe $ -f_x(g^-1)d/dyg^-1 $
E' corretto?
Devo guardarli con calma ma mi pare tutto ok. Ora nota che la derivata di una funzione decrescente è negativa...e quindi i due risultati coincidono...da cui il perché del modulo alla derivata nella formula
Ps: bastava scegliere $e^(-x) $
Lo Sheldon Ross ce l'ho anche io a casa...domani controllo se davvero non c'è questa formula ...
Ps: bastava scegliere $e^(-x) $
Lo Sheldon Ross ce l'ho anche io a casa...domani controllo se davvero non c'è questa formula ...
Scusa per la scelta infelice ma è la prima funzione decrescente che mi è saltata in mente 
xD comunque ti ringrazio per la disponibilità!
xD comunque ti ringrazio per la disponibilità!
Ecco comunque come dimostrare la formula che ti ho indicato
Caso1: $Y=g(X)$ crescente
$F_Y=P(Y
derivando otteniamo la densità
$f_Y(y)=f_(X)(g^(-1))d/(dy)g^(-1)$
Caso2: $Y=g(X)$ decrescente
$F_Y=P(Yg^(-1)(y))=1-F_X [g^(-1)(y)]$
derivando otteniamo la densità
$f_Y(y)=-f_(X)(g^(-1))d/(dy)g^(-1)$
ma essendo la derivata minore di zero (g decrescente) i due risultati coincidono e possiamo quindi scrivere
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1))|d/(dy) g^(-1)|$
fine
Caso1: $Y=g(X)$ crescente
$F_Y=P(Y
derivando otteniamo la densità
$f_Y(y)=f_(X)(g^(-1))d/(dy)g^(-1)$
Caso2: $Y=g(X)$ decrescente
$F_Y=P(Y
derivando otteniamo la densità
$f_Y(y)=-f_(X)(g^(-1))d/(dy)g^(-1)$
ma essendo la derivata minore di zero (g decrescente) i due risultati coincidono e possiamo quindi scrivere
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1))|d/(dy) g^(-1)|$
fine
Ho capito tutto, grazie mille!
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