Densita di probabilita
Ho un dubbio: se ho una variabile aleatoria $ Y $ ela sua densita di probabilita, è possibile trovare la densita di probabilita di $1/Y $?
Risposte
Certo, purche' la variabile $1/Y$ sia ben definita (ovvero Y non assuma valore 0 con probabilita' positiva).
Comunque tornando al tuo problema sul valore atteso,
se X ed Y sono indipendenti, allora lo sono anche X ed 1/Y.
Dunque $E[X/Y]=E[X]E[1/Y]$ dove $E[1/Y]=int 1/y f(y) dy$
Comunque tornando al tuo problema sul valore atteso,
se X ed Y sono indipendenti, allora lo sono anche X ed 1/Y.
Dunque $E[X/Y]=E[X]E[1/Y]$ dove $E[1/Y]=int 1/y f(y) dy$
Ma non ho capito una cosa.... Se prendo il reciproco della variabile aleatoria perche la densita di probabilita mi rimane $ f(y) $ ? non dovrebbe essere $ f(1/y) $
Anche perche a che servirebbe il teorema fondamentale della probabilita o del cambio di variabile?
"Fra1988":
Ma non ho capito una cosa.... Se prendo il reciproco della variabile aleatoria perche la densita di probabilita mi rimane $ f(y) $ ? non dovrebbe essere $ f(1/y) $
Dietro a quei semplici passaggi ci sono almeno un paio di teoremi importanti che riguardano l'integrazione rispetto a una misura immagine e rispetto a una misura definita da una densità. Se serve seguono dettagli
"Fra1988":
Anche perche a che servirebbe il teorema fondamentale della probabilita o del cambio di variabile?
Qual è il teorema fondamentale della probabilità?
La mia professoressa mi ha dato un teorema chiamato del cambio di variabile : data $ y= g(x) $ invertibile allora
$f(y)=f(x)/(g^1 (x))$ con $ x=g^-1(y) $ . Con questo teorema mi trovo la $f(1/y) $ .... Se faccio come dici tu il valore ateso mi viene leggermente diverso!!!!!! Aiutoooooo;)
$f(y)=f(x)/(g^1 (x))$ con $ x=g^-1(y) $ . Con questo teorema mi trovo la $f(1/y) $ .... Se faccio come dici tu il valore ateso mi viene leggermente diverso!!!!!! Aiutoooooo;)
Considera $y>0$.
La funzione $z=g(y)=1/y$ e' invertibile con inversa $y=g^(-1)(z)=1/z$.
Sia $Y$ una v.a. positiva con densita' $f_Y(y)$ e $Z=1/Y$ con densita' $f_Z(z)$.
Allora la densita' di Z e' $ f_Z(z)=f_Y(g^(-1)(z))|d/(dz) g^(-1) (z)|=f_Y(1/z) 1/(z^2)$.
Ora $E[Z]=int_0^{infty} z f_Y(1/z)1/(z^2) dz$. Fai il cambiamento di variabile $y=1/z$ ed ottieni $int_0^{infty} 1/y f_Y(y)dy$.
La funzione $z=g(y)=1/y$ e' invertibile con inversa $y=g^(-1)(z)=1/z$.
Sia $Y$ una v.a. positiva con densita' $f_Y(y)$ e $Z=1/Y$ con densita' $f_Z(z)$.
Allora la densita' di Z e' $ f_Z(z)=f_Y(g^(-1)(z))|d/(dz) g^(-1) (z)|=f_Y(1/z) 1/(z^2)$.
Ora $E[Z]=int_0^{infty} z f_Y(1/z)1/(z^2) dz$. Fai il cambiamento di variabile $y=1/z$ ed ottieni $int_0^{infty} 1/y f_Y(y)dy$.
È tutto chiaro eccetto una cosa....ho provato a fare la verifica tenendo da una parte $z$ edall altra parte dell uguale $ 1/y$ perche invece di venirmi uguali mi compare un segno meno da una parte??
Ah no tutto risolto..... Grazie infinite!!!! 
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