Densità di probabilità
Allora non ho mai fatto un esercizio del genere quando ci sono 2 condizioni da rispettare, di solito c'è una sola condizione e 0 altrimenti.
Se volessi procedere come faccio sempre allora ecco il mio svolgimento, volendo verificare che sia effettivamente una funzione di densità, deve risultare $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 $
nel caso particolare se ci fosse stata solo la seconda condizione avrei scritto
$\int_0^1 6x(1-x) dx = 1 $
e risolvendo si giungerebbe effettivamente al risultato 3-2 =1
dovendo includere anche la condizione 1 cioè quella che vale 1/2 per -3/2<=x<=-1/2
è giusto implicare una cosa del genere ?
$\int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-3/2}^{-1/2} 1/2 dx =1 $
facendo i calcoli però non mi esce uno... e sembra strano dato che il testo afferma che si tratta di una funzione di densità...
in parole povere vanno sommati gli integrali ?? oppure c'è un altra strada da seguire ??
mi sapete aiutare ??
Risposte
A prima vista, il testo contiene un errore, dal momento che, come hai giustamente osservato, $\int_(-oo)^(+oo)f(x)dx>1$.
quindi è giusto sommare gli integrali per verificare la funzione di probabilità ??
se si, tralasciando il fatto che non viene 1...
se voglio calcolare la probabilità che X > -1
devo fare una cosa del genere ...?
$P(X>-1) = \int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-1}^{-1/2} 1/2 dx = $
se si, tralasciando il fatto che non viene 1...
se voglio calcolare la probabilità che X > -1
devo fare una cosa del genere ...?
$P(X>-1) = \int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-1}^{-1/2} 1/2 dx = $
L'errore nel testo del tuo esercizio si corregge subito: invece che 6x(1-x) leggi: 3x(1-x).
Così l'area totale viene 1.
Passiamo ora al tuo quesito, che mi sembra mal posto con l'enfasi che dai al fatto che si debbano sommare due integrali, come si trattasse di una regola nuova del calcolo delle probabilità.
Qui in realtà non si tratta di sommare due integrali.
In realtà, per calcolare la tua probabilità Prob(x>-1) devi fare un unico integrale da -1 a 1, solo che la tua densità di probabilità f(x) è nulla fra -1/2 e 0.
Perciò, per la proprietà di additività degli integrali (definiti), cioè per una legge matematica e non del calcolo delle probabilità, il tuo unico integrale si spezza nella somma di 3 integrali: uno fra -1 e -1/2, uno fra -1/2 e 0 (banalmente nullo come l'integrando) e uno fra 0 e 1. E la risposta è immediata: 1/4 + 1/2 = 3/4.
Quindi non stai usando regole nuove per calcolare la tua risposta.
La somma di 2 integrali che hai scritto è quindi esatta, ma non ha nulla di speciale (e inoltre il risultato si calcola ad occhio, come si calcola l'area di un quadrato di lato 1/2).
Così l'area totale viene 1.
Passiamo ora al tuo quesito, che mi sembra mal posto con l'enfasi che dai al fatto che si debbano sommare due integrali, come si trattasse di una regola nuova del calcolo delle probabilità.
Qui in realtà non si tratta di sommare due integrali.
In realtà, per calcolare la tua probabilità Prob(x>-1) devi fare un unico integrale da -1 a 1, solo che la tua densità di probabilità f(x) è nulla fra -1/2 e 0.
Perciò, per la proprietà di additività degli integrali (definiti), cioè per una legge matematica e non del calcolo delle probabilità, il tuo unico integrale si spezza nella somma di 3 integrali: uno fra -1 e -1/2, uno fra -1/2 e 0 (banalmente nullo come l'integrando) e uno fra 0 e 1. E la risposta è immediata: 1/4 + 1/2 = 3/4.
Quindi non stai usando regole nuove per calcolare la tua risposta.
La somma di 2 integrali che hai scritto è quindi esatta, ma non ha nulla di speciale (e inoltre il risultato si calcola ad occhio, come si calcola l'area di un quadrato di lato 1/2).
si ok... non pensavo mica di inventare qualcosa, solo che non avendo queste conoscenze me n'ero andato x una idea generale e cercavo una spiegazione accurata...
sei stato chiarissimo ti ringrazio
sei stato chiarissimo ti ringrazio
xò stando alla traccia non mi trovo con il risultato che hai dato tu cioè 3/4
$P(X>-1) = \int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-1}^{-1/2} 1/2 dx = $
a me risulta = 1-1/4+1/2 = 5/4
$P(X>-1) = \int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-1}^{-1/2} 1/2 dx = $
a me risulta = 1-1/4+1/2 = 5/4
"tulkas85":
xò stando alla traccia non mi trovo con il risultato che hai dato tu cioè 3/4
$P(X>-1) = \int_0^1 6x(1-x) dx + \int_{-1}^{-1/2} 1/2 dx = $
a me risulta = 1-1/4+1/2 = 5/4
Non ho controllato i calcoli,ma mi pare ti abbiano detto di considerare $3x(1-x)$ e non $6$
Come torna a ripeterti Andre@, per favore fa' come ti avevo detto, se no continuerai a ottenere risultati incongrui.
ok allora modificando la traccia mi trovo con te... 3/4
quelli già sono seccanti sti esercizi sbagliano pure le tracce , è la fine !
quelli già sono seccanti sti esercizi sbagliano pure le tracce , è la fine !
Auguri per i prossimi!
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