Densità di due distribuzioni

[LucaDella]

Il quesito dell'esercizio è il seguente : " Siano $X, Y$ indipendenti, $X$ distribuzione normale standard e $Y$ distribuzione esponenziale di parametro $lambda=1$. Calcolare la distribuzione $Y-X$". Innanzitutto procedo individuando le due densita marginali ossia $f(x)= 1/(sqrt(2pi)) *e^(-1/2x^2)$ mentre per $f(y)= e^-y$ con $y>=0$. Successivamente calcola la densita congiunta ed essendoci indipendenza ho che: $f(x,y)= f(x)*f(y)$. Adesso il mio dubbio e sull'integrale da impostare per trovare $P(Y-X<=t)$ infatti se disegno il grafico della retta$ y=x+t$ non capisco come devo comportarmi. Qualcuno sa aiutarmi ?

[LucaDella]

Solitamente uso l'integrale per risolvere questi problemi tuttavia non riesco a capire come si impostino gli estremi di integrazione, in particolare del primo in $dx$, il secondo immagino che parta da zero poiché il supporto di $y>=0$ e e si blocchi a $x+z$ dall'equazione della retta

[LucaDella]

Il problema e che nell'altro modo non saprei come fare, visto che l'esempio svolto che ho fatto è impostando l'integrale

[Lo_zio_Tom]

Allora risolvilo con l'integrale; il risultato è questo:

$F_Z(z)=1-Phi(-z)-e^(1/2-z)[1-Phi(1-z)]$

con $z in RR$

Sei partito bene...una volta impostato l'integrale (la $X$ va integrata da $-z$ a $+oo$) troverai un integrale che non ammette primitiva ma che facilmente puoi risolvere in funzione della CDF di una Gaussiana standard, appunto $Phi(z)$, che è tabulata ovunque

ciao ciao

EDIT: progressi?