Densità della somma di due v.a.

Alxxx28
Ciao a tutti
Ecco la traccia dell' esercizio, tratto dal testo "Calcolo delle probabilità" di Weiss:

Supponiamo che X e Y siano variabili casuali definite nello stesso spazio campionario e che abbiano una distribuzione
geometrica di parametro $p$. Supponiamo inoltre che, per ogni coppia di interi positivi $x$ e $y$, gli eventi $[X=x]$ e $[Y=y]$
siano indipendenti.
- determinare la densità di probabilità di $X+Y$. Suggerimento: applicare la legge delle probabilità totali condizionando la probabilità rispetto al valore di X.


Chiamo $\Omega$ lo spazio campionario per comodità.
Stando a ciò che dice il suggerimento, per applicare la legge indicata bisognerebbe prima trovare una
partizione di $\Omega$, ma visto il tipo di problema non riesco a capire come ricavare la partizione.

Se non considero il suggerimento invece, ragiono in questo modo:
ponendo $Z=X+Y$ si ottiene un' ulteriore v.a. geometrica,
e posso ricavare la densità congiunta $p(x,y)$, cioè $P{(X=x)nn(Y=y)}=P(X=x)P(Y=y)$.
A questo punto mi serve ricavare la densità $p(z)$ che equivale a $P(Z=z)$, ma siccome $Z$ non è un vettore aleatorio, $p(z)$ non è uguale a $p(x,y)$ vero?

Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?
Ringrazio in anticipo

ps: il parametro per la v.a. $Z$ è sempre $p$?

Risposte
clrscr
Ciao :)

Dunque, quello che viene chiesto, è calcolare $P[z= alpha]=P[X+Y = alpha]$.

Dai suggerimenti si dice di condizionare rispetto al valore di "X", cioè:

$P[X+Y = alpha]= sum_{beta=0}^{+oo} P[X+Y= alpha | X= beta]*P[X = beta]$.

Essendo:

$P[X+Y= alpha | X= beta]*P[X = beta] = P[Y= alpha - beta]*P[X = beta]$

si ottiene:

$sum_{beta=0}^{+oo} P[X+Y= alpha | X= beta]*P[X = beta] = sum_{beta=0}^{+oo} P[Y= alpha - beta]*P[X = beta] $

Sapendo che si ha a che fare con distribuzione Geometrica(p) (con q=1-p), la v.a. Y non può assumere valori negativi.

Quindi:

$sum_{beta=0}^{+oo} P[Y= alpha - beta]*P[X = beta] = sum_{beta=0}^{beta} P[Y= alpha - beta]*P[X = beta] = sum_{beta = 0}^{alpha} q^{alpha - beta} p * q^{beta} * p = p^2*q^{alpha}*(alpha+1)$

poncelet
Ciao,
io avrei ragionato in questo modo. Siano $X$ e $Y$ le tue v.a. geometriche.
Dobbiamo calcolare $P(X+Y=s)$
Utilizzo l'interpretazione della geometrica come "tempo d'attesa".
Per $s=1$ abbiamo $P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(X=0)=pq^0pq+pqpq^0=p^2q+p^2q=p^2(q+q)$
Per $s=2$ abbiamo $P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=pq^0pq^2+pqpq+pq^2pq^0=$
$=p^2(q^2+q^2+q^2)$
Per $s=3$ abbiamo $P(X+Y=3)=P(X=0)P(Y=3)+P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)=pq^0pq^3+pqpq^2+pq^2pq+pq^3pq^0=$
$=p^2(q^3+q^3+q^3+q^3)$

Preseguendo avrei ottenuto:

$P(X+Y=s)=p^2q^(s)(s+1)$

EDIT il ragionamento di clrscr è più rigoroso ma si ottiene lo stesso risultato

Alxxx28
Grazie ad entrambi per le spiegazioni. Molto chiare!

"maxsiviero":

Preseguendo avrei ottenuto:

$P(X+Y=s)=p^2q^(s)(s+1)$


Questa probabilità si può scrivere anche così:

$P(X+Y=s)=\sum_((x,y)\inA) p(x,y)$
dove $A={(x,y)\inR^2: x+y=s}$

esatto?

poncelet
"Alxxx28":
Questa probabilità si può scrivere anche così:

$P(X+Y=s)=\sum_((x,y)\inA) p(x,y)$
dove $A={(x,y)\inR^2: x+y=s}$

esatto?


A occhio direi di sì.

Alxxx28
ok, grazie ancora! :)

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