Densita' del prodotto di v.a. continue e discrete

[salvo891]

Salve a tutti e complimenti a tutti voi per il forum.
Non ci sono tante premesse da fare.
Supponendo di avere 2 v.a. indipendenti una discreta $ X $ ed una continua $ Y $ vorrei calcolare la densita' della variabile aleatoria $ Z = X Y $.
Se fossere entrambe continue non ci sono tanti problemi: so che la pdf congiunta e' il prodotto delle due pdf $ f_{XY}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) $ allora
$ F_Z(z) = "Pr"{Z Dove $ D_z = {x>0, y <= z/x} uu {x<0, y >= z/x} $ quindi $ F_z(z) = int int_{D_z} f_{XY}(x,y)dxdy = int_0^{+oo} int_{-oo}^{z/x} f_{XY}(x,y)dydx + int_{-oo}^{0} int_{z/x}^{+oo} f_{XY}(x,y)dydx $
Per avere la pdf di Z:
$ f_Z(z) = d/dz F_Z(z) = int_{-oo}^{+oo}1/|x|f_{XY}(x,z/x)dx = int_{-oo}^{+oo}1/|x|f_X(x)f_Y(z/x)dx $

Però non riesco a capire come fare quando ho per esempio $ X $ continua e $ Y $ discreta.
Devo per caso esprimere la pdf della v.a. discreta come somma di delta di Dirac?

[elgiovo]

Il conto della pdf è corretto.

Devo per caso esprimere la pdf della v.a. discreta come somma di delta di Dirac?

Mi sembra una buona idea.