Densità congiunta e trasformazione variabile aleatoria
Ho una variabile aleatoria definita uniformemente su un triangolo t=(0,0), (1/$\alpha^2$ ,0) ,(0,1).
La sua densità congiunta è definita quindi come 2$\alpha^2$
Per calcolarmi le marginali faccio: $fx(x)=int_R fxy(x,y)dx=2alpha^2 int_R It(x,y)dy=2α^
2
I(0,1/α^2)(x)int_R
I(0,1−α^x)(y)dy= 2α^2 I(0,1/α^2)(x) int_{0}^{1-α^2x} dy= 2α^2(1-α^2x) I(0,1/α^2x) (x)$
e similmente per la fy(y)
La prima domanda è, questo I cosa rappresenta esattamente?ènecessario inserirlo nel risultato della funzione marginale? Io credevo fosse in quali valori di x la funzione è definita. Quando pero' nell'esericizio successivo mi chiede di calcolare la fz(z)=Y/X, mi dice nella risoluzione che $zin (0, prop) perche (x,y)in(0,prop)$. Quindi ne capisco perchè $(x,y)in(0,prop)$(visto che sono definiti nell'area T), né cosa rappresenta It.
La sua densità congiunta è definita quindi come 2$\alpha^2$
Per calcolarmi le marginali faccio: $fx(x)=int_R fxy(x,y)dx=2alpha^2 int_R It(x,y)dy=2α^
2
I(0,1/α^2)(x)int_R
I(0,1−α^x)(y)dy= 2α^2 I(0,1/α^2)(x) int_{0}^{1-α^2x} dy= 2α^2(1-α^2x) I(0,1/α^2x) (x)$
e similmente per la fy(y)
La prima domanda è, questo I cosa rappresenta esattamente?ènecessario inserirlo nel risultato della funzione marginale? Io credevo fosse in quali valori di x la funzione è definita. Quando pero' nell'esericizio successivo mi chiede di calcolare la fz(z)=Y/X, mi dice nella risoluzione che $zin (0, prop) perche (x,y)in(0,prop)$. Quindi ne capisco perchè $(x,y)in(0,prop)$(visto che sono definiti nell'area T), né cosa rappresenta It.
Risposte
vediamo di rispondere alla prima domanda...capito questo poi il tutto è immediato
La funzione indicatrice serve appunto ad evidenziare dove la funzione è definita...E' obbligatorio metterla? No, non è obbligatorio ma è obbligatorio spiegare bene cosa vuoi dire a chi legge il tuo scritto.
Mi spiego meglio. Hai detto che la densità congiunta è
$f_(XY)(x,y)=2a^2$
e quindi ti domando....MA DOVE E' definita questa densità? Su tutto $RR^2$...oppure sul triangolo?
A questo punto sei costretto a specificare cosa stai definendo e quindi puoi fare così:
Sia T il triangolo della traccia.
$f_(XY)(x,y)={{: ( 2a^2 ,;" if " (x,y) in T ),( 0 , ;" altrove" ) :}$
ma in modo più compatto puoi scrivere
$f_(XY)(x,y)=2a^2mathbb{1}_((0;1/a^2))(x)mathbb{1}_((0;1-a^2x))(y)$
ho scitto la stessa cosa: nel secondo esempio la $f(x,y)$ vale $1xx2a^2$ se e solo se $(x,y) in T$ altrimenti vale zero.
ma potrei scriverla anche così:
$f_(XY)(x,y)=2a^2mathbb{1}_((0;1))(y)mathbb{1}_((0;(1-y)/a^2))(x)$
Questo modo di scrivere il dominio doppio E' UN ESERCIZIO FONDAMENTALE ED UTILISSIMO per capire i giusti estremi di integrazione.....che sono già scritti nel dominio (quindi il calcolo delle marginali è immediato)
La funzione indicatrice serve appunto ad evidenziare dove la funzione è definita...E' obbligatorio metterla? No, non è obbligatorio ma è obbligatorio spiegare bene cosa vuoi dire a chi legge il tuo scritto.
Mi spiego meglio. Hai detto che la densità congiunta è
$f_(XY)(x,y)=2a^2$
e quindi ti domando....MA DOVE E' definita questa densità? Su tutto $RR^2$...oppure sul triangolo?
A questo punto sei costretto a specificare cosa stai definendo e quindi puoi fare così:
Sia T il triangolo della traccia.
$f_(XY)(x,y)={{: ( 2a^2 ,;" if " (x,y) in T ),( 0 , ;" altrove" ) :}$
ma in modo più compatto puoi scrivere
$f_(XY)(x,y)=2a^2mathbb{1}_((0;1/a^2))(x)mathbb{1}_((0;1-a^2x))(y)$
ho scitto la stessa cosa: nel secondo esempio la $f(x,y)$ vale $1xx2a^2$ se e solo se $(x,y) in T$ altrimenti vale zero.
ma potrei scriverla anche così:
$f_(XY)(x,y)=2a^2mathbb{1}_((0;1))(y)mathbb{1}_((0;(1-y)/a^2))(x)$
Questo modo di scrivere il dominio doppio E' UN ESERCIZIO FONDAMENTALE ED UTILISSIMO per capire i giusti estremi di integrazione.....che sono già scritti nel dominio (quindi il calcolo delle marginali è immediato)
Grazie mille. Per quanto riguarda il calcolo della densità di Z=X/Y, perchè $zin (0, prop)$? Nella soluzione mi dice che deriva dal fatto che $(x,y)in(0,prop)$, ma non capisco il motivo.
"camicorte":
Grazie mille. Per quanto riguarda il calcolo della densità di Z=X/Y, perchè $zin (0, prop)$?
????
avrà scritto $z in (0;+oo)$
...mi auguro
Tieni presente che per la soluzione di questo problema basta usare la geometria delle scuole medie...gli integrali non servono.
Sì mi sono dimanticata il +. La domanda rimane sempre quella pero'.. Perchè?
"camicorte":
Sì mi sono dimanticata il +. La domanda rimane sempre quella pero'.. Perchè?
a parte il $+$
hai scritto $(0; prop)$
quello è il simbolo di proporzionale....ed a leggerlo sembrava un $alpha$
come perché?? è il rapporto di due numeri finiti che possono tendere a zero.... quando la x tende a zero z tende a zero....quando la y tende a zero avrai che Z tende a $+oo$
Per scrivere infinito puoi fare così:
oo (due o) racchiuse nei dollari oppure
\infty con la simbologia LaTeX
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