Densità congiunta e marginale

[primianus]

Sia $ Y $ una variabile casuale normale con media e varianza pari a $ 1 $ e sia $ X $ , invece , una variabile casuale la cui distribuzione dipende da quella della $ Y $ , cioè la cui funzione densità di probabilità condzionata di $ X | Y = y $ è una normale di parametri $ mu = ay $ e $ sigma =1 $ . determinare la densità congiunta di $ ( X , Y ) $ , la densità marginale di $ X $ e calcolare $ P ( X > 1 | Y=y) $ .
[soluzione ]
$ f(Y) = =1/( sigma *sqrt(2pi ) ) *e^[-((x-mu )^2)/(2 sigma^2)] $
con $ mu =1 $ e $ sigma^2 =1 $

$ f_x (Y) =1/( sigma *sqrt(2pi ) ) *e^[-((x-mu )^2)/(2 sigma^2)] $
$ mu = ay $ e $ sigma ^2 =1 $
qualche consiglio su come ottenere le densità?

[Lo_zio_Tom]

E' un bell'esercizio sull'applicazione dei teoremi sul valore atteso condizionato

$ E (X)=E (E (X|Y))=E (ay)=aE (Y)=a $

$ V (X)=V (E (X|Y))+E (V (X|Y))=V (ay)+1=a^2+1$

Quindi $ X~N (a; a^2+1) $

Per trovare i parametri della densità congiunta ci serve la covarianza

$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

$E(XY)=E[E(YX|Y)]$

ma $E(YX|Y)=yE(X|Y)=y(ay)=ay^2$

quindi

$ cov (X; Y)=E (E (YX|Y))-a=aE (Y^2)-a=2a-a=a $

Quindi $ f (x; y) $ è congiuntamente gaussiana con vettore delle medie $ mu=[a; 1]^T $ e matrice di varianza e covarianza

$ Sigma=[(a^2+1, a), (a,1)] $

La riprova che l'esercizio è svolto correttamente si può fare (io l'ho già controllato) verificando che la distribuzione congiuntamente gaussiana

$f(x,y)=1/(2pisigma_(x)sigma_(y)sqrt(1-rho^2))exp{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_(x))^2/sigma_(x)^2-2rho((x-mu_(x))(y-mu_(y)))/(sigma_(x)sigma_(y))+(y-mu_(y))^2/sigma_(y)^2]}$

dove:

${{: ( mu_(x)=a ),( mu_(y)=1 ),( sigma_(x)^2=a^2+1 ),( sigma_(y)^2=1 ),( rho^2=a^2/(a^2+1) ) :}$


coincide (dopo alcune semplificazioni algebriche) con il prodotto tra le due funzioni della traccia $f(x,y)=f(y)f(x|y)$

fammi sapere se hai capito


Saluti

[primianus]

Ti ringrazio di cuore