Densità congiunta con parametro

[_Daniele_]

Ciao ragazzi, ho il seguente problema di probabilità:

Due veicoli, a partire da un certo istante, si mettono in movimento con velocità aleatorie (in km/h) $X$ e $Y$. La densità congiunta di $(X,Y)$ è $f(x,y)=e−c(x+y)$, con $c>0$, per $x≥0,y≥0$, con $f(x,y)=0$ altrove. Calcolare la costante c; inoltre, determinare la densitá di probabilitá della distanza D1 percorsa dal primo veicolo in un ora. Calcolare, posto $Z = X−Y$, e fissato un valore $z≥0$, la probabilità $p=P(Z ≥ z)$ e la probabilità condizionata $γ=P(Z≥z|Z≥0)$.

Per il momento mi interessa trovare la costante c.
L'esercizio fa questa considerazione: 'ricordando che per ogni $c>0$ si ha $ int_(0)^(+oo ) ce^-(cx) dx =1 $ '. Sinceramente non l'ho capita. So che la densità va posta uguale ad 1 per definizione, ma non ho capito perché ha fatto questa considerazione per la costante c.

[Lo_zio_Tom]

"JustDani95": La densità congiunta di $(X,Y)$ è $f(x,y)=e−c(x+y)$, con $c>0$, per $x≥0,y≥0$, con $f(x,y)=0$

ammesso che la densità congiunta sia questa $f(x,y)=e^(-c(x+y))$ (perché da come l'hai scritta tu non si capisce)....allora $f(x,y)=e^(-cx)e^(-cy)$ e, visto anche il dominio, se ne deduce facilmente che X e Y sono indipendenti. Di conseguenza si vede senza fare alcun conto che l'unica possibilità è che $c=1$

$ f (x, y)=1/c^2e^(-cx) e^(-cy)=e^(-cx) e^(-cy) rarr c=1$

In ogni caso, se non riesci a vederlo basta utilizzare la definizione: risolvi $ int_(0)^(oo) e^(-cx) dxint_(0)^(oo) e^(-cy) dy=1$ ottenendo lo stesso risultato

******

$ D_(1 )(x)=e^(-x) $

*******

Fissato $ z>= 0$

$ P (Z>=z)=e^(-z)/2$

*********

$ P (Z>=z|z>=0)=(e^(-z)/2)/(1/2)=e^(-z)$

***********
Non richiesto dall'esercizio ma utile (anche per capire lo svolgimento e la correttezza dei punti precedenti):

Calcoliamo la CDF di $Z=X-Y$

$F_(Z)(z)={{: ( e^z/2 , ;z<0 ),( 1-e^(-z)/2 , ;z>=0 ) :}$

da cui derivando otteniamo la PDF:

$f(z)=e^(-|z|)/2$



***********

Ciao

[_Daniele_]

La leggo meglio domani mattina, comunque ho sbagliato a scrivere la funzione, perdonami. E' come hai detto tu.
Nel rileggerla mi è sfuggito.
Grazie infinite, domani ti faccio sapere se ho qualche dubbio.

[_Daniele_]

Sei stato chiarissimo, soprattutto nell'ultimo punto dove mi hai fatto vedere il grafico.
L'unica cosa che non capisco è cosa debba utilizzare per calcolare la distanza D1

[_Daniele_]

Derivando la funzione di ripartizione $F_Z(z)$? $f(z)$ dovrebbe essere la densità, giusto?

[Lo_zio_Tom]

"JustDani95":Derivando la funzione di ripartizione $F_Z(z)$? $f(z)$ dovrebbe essere la densità, giusto?

risposta ineccepibile

quindi riformulo la domanda: sapresti calcolare $F_(z)$??

il problema ti fa calcolare solo la parte positiva, ma $z in R$

[_Daniele_]

Ti rispondo appena posso, postando i passaggi

[_Daniele_]

Ok, la funzione di ripartizione non so come calcolarla in questo caso.
Magari dammi un indizio

[Lo_zio_Tom]

se le variabili X e Y sono definite in $[0;+oo)$ allora il supporto di $Z=X-Y$ è $(-oo;+oo)$

la CDF è definita così:

$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X-YX-z)$

Per calcolare tale funzione di z occorre fare l'integrale doppio della densità congiunta sull'evento di interesse. Tale dominio cambia a seconda che $Z$ sia minore o maggiore di zero.

$Z>0$

$ 1-int_(z)^(+oo)int_(0)^(x-z)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-(e^(-z))/2$





$Z<0$

$int_(0)^(+oo)int_(x-z)^(+oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/2$



Tutto qui

Ti faccio notare che questo esercizio è molto importante per imparare a calcolare le funzioni di variabili aleatorie continue

[_Daniele_]

"tommik":se le variabili X e Y sono definite in $[0;+oo)$ allora il supporto di $Z=X-Y$ è $(-oo;+oo)$

la CDF è definita così:

$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(X-YX-z)$

Per calcolare tale funzione di z occorre fare l'integrale doppio della densità congiunta sull'evento di interesse. Tale dominio cambia a seconda che $Z$ sia minore o maggiore di zero.

$Z>0$

$ 1-int_(z)^(+oo)int_(0)^(x-z)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=1-(e^(-z))/2$





$Z<0$

$int_(0)^(+oo)int_(x-z)^(+oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=...=e^z/2$



Tutto qui

Ti faccio notare che questo esercizio è molto importante per imparare a calcolare le funzioni di variabili aleatorie continue

La parola 'supporto' l'ho letta più volte ma non ho mai capito bene che cosa sia.
Mentre sul dominio dell'integrale ancora mi confondo un po'.
Domanda stupida: perché per $z>0$ hai messo 1-..?

Per fortuna gli integrali doppi sono semplici nonostante non abbia passato analisi 1.

Ti ringrazio come sempre.