Densità congiunta

[Ale88ssia]

Buongiorno a tutti! Ho trovato abbastanza difficoltà nello svolgere questo esercizio preso da un vecchio esame!

Siano X e Y variabili aleatorie con densità congiunta :

\(\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}x , & \mbox{se }\mbox{0< y < x < 1} \\ 0, & \mbox{altrimenti }
\end{cases} \)

a) si trovi la distribuzione di X
b) si trovi la distribuzione di XY
c) si trovi E(XY)

allora...io ho provato a risolvere il tutto cosi :

a) mi trovo la mia distribuzione di X tramite distribuzione marginale \(\displaystyle f_x(x) \)
cioè facendo \(\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}x \, dx \)

b) dovrei risolvere una cosa di questo tipo \(\displaystyle P(xy
c) per trovare il valore atteso E(XY) posso usare la stessa proprietà delle variabili aleatorie indipendenti , cioè E(XY)= E(X)E(Y) oppure per variabili aleatorie con densità congiunta c'è un'altra strada?

grazie mille in anticipo

[stormy1]

le variabili casuali $X$ ed $Y$ possono assumere soltanto i valori contenuti nel dominio $D$ limitato dall'asse delle $x$,dalla retta $y=x$ e dalla retta $x=1$

1) $ F_(X)(x)=int_(0)^(x) 1/(psi) dpsiint_(0)^(psi) dy =x $ per $x leq 1$
$F_(X)(x) =1$ per $x>1$

2) $Z=XY$
$F_Z(z)=P(Y leq z/X)$
osserviamo che la retta $y=x$ e la curva $y=z/x$ si intersecano nel punto di ascissa $x=sqrtz$
da ciò si evince che,per $z leq 1$,
$F_(Z)(z)= int_(0)^(sqrtz) 1/x dxint_(0)^(x) dy+int_(sqrtz)^(1) 1/x dx int_(0)^(z/x) dy=2sqrtz-z $
e per $z>1$ si ha $F_Z(z)=1$

3) $f_Z(z)=d/(dz)F_Z(z)= { ( 1/(sqrtz)-1 ,zleq 1 ),( 0,z>1 ):} $
$E(Z)= int_(0)^(1) z(1/sqrtz-1) dz=1/6 $

[Ale88ssia]

Grazie mille per tutto!! davvero gentile!