Densità condizionata di X data Y

[cicciospi3]

Ciao a tutti ragazzi,
sto cercando di risolvere un esercizio di cui non sono sicuro della soluzione:

La densità congiunta di (X, Y) è

\(\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
& \text 3x\cdot e^{-x(13+y)},\; x,y>0 \\
& \text 0\; altrove
\end{cases}\)

Trova la densità condizionata di X data Y.

l'esercizio è abbastanza banale e ho utilizzato questa formuletta:

\(\displaystyle f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{Y|X}\cdot f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{Y|X}\cdot f_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{\infty }f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)dx} \)

Il prof mi ha dato la soluzione che è:

\(\displaystyle \frac{13}{(13+y)^{2}} \)

A me viene totalmente diversa e molto probabilmente sbaglio l'integrale...

\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}3x\cdot e^{-x(13+y)}dx \)

Quello che vorrei capire è se la soluzione del prof. è giusta...

Ciao e grazie a chi avrà la voglia di aiutarmi

[Lo_zio_Tom]

Quella fornita dal prof è sbagliata. Assomiglia alla marginale $ f (y) =3/(13+y)^2$ come giustamente stavi calcolando tu...per trovare la densità condizionata ti basta fare la divisione fra la congiunta e la marginale

PS: evita di dire "grazie a chi risponderà" o locuzioni simili... sono frasi fatte che non fanno altro che irritare..qui in genere rispondiamo sempre.....sempre che l'utente rispetti il regolamento e non sia arrogante.

[Lo_zio_Tom]

Che sia sbagliata potevi anche controllarlo da solo...il suo integrale in $ dx $ diverge......

Con questa invece:

$f(x|y)=(13+y)^2 x e^(-x(13+y))$

Si vede in un passaggio che porge

$int_(0)^(+oo)f(x|y)dx=1$

Quindi è giusta

[cicciospi3]

a questo punto la soluzione sarà:

$ f_{X|Y}(x|y)=x e^(-x(13+y))*(13+y)^2 $

PS: evita di dire "grazie a chi risponderà" o locuzioni simili... sono frasi fatte che non fanno altro che irritare..qui in genere rispondiamo sempre.....sempre che l'utente rispetti il regolamento e non sia arrogante.

ringrazio sempre chi mi da una mano, per me non è una frase fatta e ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato