Densità

[Fregior]

Ciao,
ho $f,g~U(0;1)$ indipendenti
e volevo la joint della trasformazione $h=f+g$ e $j=f-g$.

L'ho calcolata con il determinante dello Jacobiano in modulo che è $1/2$.
Ma se volessi vedere che è effettivamente una Joint quindi $1/2int int_D dhdj=1$ come faccio a visualizzarlo? Penso che ho un romboide ma non riesco a impostare correttamente l'integrale.

[Lo_zio_Tom]

[strike]è un triangolo[/strike]

sì..ho capito male

pensavo fossi interessato alla trasformazione $f+g$...nel tuo caso non so....ma ci penso

[Fregior]

mmmh, sei sicuro? Avevo trovato su delle slide online che è un romboide. Ma come si vede/visualizza?

[Lo_zio_Tom]

${{: ( z=x+y ),( v=x-y ) :} rarr{{: ( x=(z+v)/2 ),( y=(z-v)/2 ) :}$

lo jacobiano, come hai giustamente calcolato, viene $1/2$ ( in valore assoluto);


ora vediamo cosa succede alla frontiera di $z,v$ partendo dalla frontiera di $x,y$


$x=0 rarr (z+v)/2=0 rarr v=-z$

$y=0 rarr (z-v)/2=0 rarr v=z$

$x=1 rarr (z+v)/2=1 rarr v=2-z$

$y=1 rarr (z-v)/2=1 rarr v=z-2$

che evidentemente danno un rombo di area $A=2$

a questo punto è chiaro che la tua joint è davvero una joint perché vale $1/2$ per $(z,v) in D$ e zero altrove, quindi il volume cercato (il valore dell`integrale) è 1

[Fregior]

Grazie, quindi graficamente è l'area inclusa tra quelle curve intersezione con h tra 0 e 2 e j tra -1 e 1?

[Lo_zio_Tom]

Più che un rombo viene un quadrato ruotato di 45°.
Infatti

$0
$0
ovvero

$D:{{: ( 0
Cioè il quadrato di vertici $(0,0) $; $(1,-1) $; $(2,0) $; $(1,1) $

ma essendo

$ f_(z, v)=|detj|f_(x, y)(x (z, v ), y (z, v)) $

Allora la joint distribution su tutto $ D $ viene

$1/2intint_(D) dzdv=1/2A_(D) =1/2\cdot2=1$

[Fregior]

Grazie infinite!

[Ste_1990]

Ho completato l'esercizio trovando anche le marginali di \( z \) e di \( v \) , posto il tutto nella speranza che a qualcuno si utile quanto questo forum è utile per me.

\( fz \) : Devo trovare gli estremi di integrazione di v

\( \begin{cases} 0<(z+v)/2<1 \\ 0<(z-v)/2<1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -z
\( \Rightarrow Max(z-2,-z)
Da cui si ottiene che

per \( 0
per \( 1
A questo punto basta fare i due integrali con quegli estremi e abbiamo trovato la prima densità.

Per \( fv \) : Devo trovare gli estremi di integrazione di z , procedo in modo simile.

\( \begin{cases} 0<(z+v)/2<1 \\ 0<(z-v)/2<1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -v
\( \Rightarrow Max(-v,v)
Da cui si ottiene che

per \( -1
per \( 0
Come sopra, si fanno i due integrali e via!

Sul cartaceo mi viene ( Controprova con il grafico postato da Tommik),ma non sono esperto nell'usare il programma per il linguaggio matematico e potrei aver fatto qualche errore, fermo restando che sono solo uno studente,quindi qualche errore potrebbe esserci a prescindere!

Buon lavoro a tutti!