Definizioni equivalenti variabili aleatorie indipendenti

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Definita l'indipendenza per una coppia di variabili aleatorie $X$ e $Y$ come, per tutti i sottoinsiemi $A\subset\mathbb{R}$ e $B\subset\mathbb{R}$\[P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)\]il mio testo dice, senza dimostrarlo, che tale definizione equivale -come si dovrebbe evincere dagli assiomi della probabilità- alla richiesta che per ogni \((a,b)\in\mathbb{R}^2\)\[P(X\leq a,Y\leq b)=P(X\leq a)P(Y\leq b).\]Ora, mi è chiaro che la prima uguaglianza implica banalmente la seconda, ma il viceversa non riesco a dimostrarlo a me stesso, eccetto che per il caso in cui $A$ e $B$ siano unioni disgiunte numerabili di intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra, infatti direi che
\(P(X\in(d,a],Y\in(c,b])=P(X\leq a,Y\in(c,b])-P(X\leq d,Y\in(c,b]) \)
\(=P(X\leq a,Y\leq b)-P(X\leq a,Y\leq c)-P(X\leq d,Y\leq b)+P(X\leq d,Y\leq c)=\)
\(=(P(X\leq a)-P(X\leq d))(P(Y\leq b)-P(Y\leq c))=P(X\in(d,a])P(Y\in(c,b])\), uguaglianza da cui vedo che, se $A$ e $B$ sono unioni disgiunte di intervalli numerabili aperti a sinisitra e chiusi a destra, diciamo di tipo \((a_i,b_i]\), vale \(P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)\).
Nel caso di un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}$, direi che è unione numerabile di intervalli disgiunti di tipo \((a_i,b_i]\), quindi direi che ci siamo, ma, per altri sottoinsiemi (ad esempio punti, sottoinsiemi in generale chiusi ecc. ) non saprei come procedere...
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a dimostrarla o consigliarmi un link?
$+\infty$ grazie a tutti!!!

[retrocomputer]

"DavideGenova":Ciao, amici! Definita l'indipendenza per una coppia di variabili aleatorie $X$ e $Y$ come, per tutti i sottoinsiemi

Quando parli di variabili aleatorie (funzioni misurabili) devi necessariamente introdurre prima un paio di $\sigma$-algebre, una nello spazio di partenza e una nello spazio di arrivo.
Nello spazio di arrivo $RR$ solitamente si considera la $\sigma$-algebra dei boreliani che contiene tanti insiemi, ma non tutti i sottoinsiemi di $RR$.

Ora, la $\sigma$-algebra dei boreliani è definita in diversi modi equivalenti, tra i quali è comodo quello di $\sigma$-algebra generata dalle semirette chiuse a destra, ma vanno anche bene gli intervalli semi-aperti, oppure gli aperti, oppure ancora i chiusi: ognuna di queste famiglie genera i boreliani.

"DavideGenova":
Nel caso di un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}$, direi che è unione numerabile di intervalli disgiunti di tipo \((a_i,b_i]\), quindi direi che ci siamo, ma, per altri sottoinsiemi (ad esempio punti, sottoinsiemi in generale chiusi ecc. ) non saprei come procedere...

Puoi usare anche i complementari delle semirette chiuse a destra: così ti torna?

[DavideGenova1]

Sfrutto il fatto che \(P(E^c)=1-P(E)\)...
Grazie di cuore, retrocomputer!!!